Раздел III Изгиб тонких пластин (стр. 1 )

Раздел III

Изгиб тонких пластин

Пластинкой называется призматическое тело, два размера которого много больше третьего. Малый размер тела называется толщиной пластинки. Тонкими пластинками считают пластинки, для которых , где d – толщина пластинки; а, b – характерные размеры пластинки в плане, обычно одного порядка.

Геометрическое место точек, делящее толщину пластинки пополам, называется срединной поверхностью пластинки. В теории изгиба пластин срединная поверхность играет такую же роль, как в сопротивлении материалов нейтральный слой при изгибе балок. Линию, ограничивающую срединную плоскость пластинки называют контуром пластинки Далее рассматриваются пластинки постоянной толщины.

В срединной поверхности используем прямоугольную декартову систему координат х, у. Ось z, перпендикулярную срединной поверхности пластинки, направляем вниз (рис. 1).

Изгиб пластин возникает от нагрузки, нормальной к срединной поверхности пластинки (рис. 1). Нагрузка может быть распределенной по поверхности пластинки , распределенной по линии или сосредоточенной силой . Возможна также моментная нагрузка.

 

Для тонких пластинок, аналогично теории изгиба балок, не различают положение нагрузки по оси z, на верхней или нижней поверхности пластинки.

Под действием нагрузки точки срединной поверхности перемещаются по оси, которые называют прогибами срединной поверхности пластинки – w(x,y).. Срединная поверхность пластинки искривляется, ее называют срединной поверхностью изогнутой пластинки (рис 2).

В зависимости от соотношения основных размеров пластины и ее прогибом пластину можно отнести к различным категориям.

Пластины с отношениям относят к категории толстых плит. Толстые плиты могут являться элементами фундаментов, гидротехнических сооружений, опорных элементов станков и т. п. Расчет толстых плит проводится обычно как трехмерных тел с использованием уравнений пространственной теории упругости..

Если прогибы тонких плит превышают ¼ толщины пластины (w > d/4), то такие пластины относят к категории гибких пластин. Расчет гибких пластин проводится с учетом геометрически нелинейности. При расчете таких пластин существенное значение имеют тангенциальные (равномерно распределенные по толщине пластинки) напряжения. При толщине пластин , изгибными напряжениями в пластинки пренебрегают и расчет ведут по мембранной теории. Такие пластины должны иметь жесткий опорный контур.

1. Гипотезы изгиба тонких пластин.

Перемещения, деформации, напряжения

Для расчета тонких плит используют техническую теорию изгиба в основу которой положены следующие гипотезы.

1.  Отрезок mn нормали к срединной поверхности пластинки остается прямолинейным и нормальным к изогнутой срединной поверхности m’n’ – гипотеза прямых нормалей. (рис. 1.1).

2.  Поперечные волокна пластинки не деформируются . Откуда следует, что w=w(x,y).

3.  Взаимное давление между продольными слоями пластинки отсутствует sz = 0

Эти гипотезы называются гипотезами Кирхгофа.

4. Перемещения точек срединной поверхности в направлении осей х, у полагаются малыми величинами в сравнении с прогибами и принимаются равными нулю ; .

5.. Прогибы срединной поверхности считаются малыми – не превышают ¼ толщины пластинки w £ d/4.

Из рис. 5.1 видно, что нормаль повернулась на угол - угол наклона сечения в направлении оси х. Очевидно, в направлении оси у получим по аналогии

Из первой гипотезы следует отсутствие угловых деформаций в сечениях пластинки в сечениях пластинки:

; ,

Из геометрических уравнений (I.5.2) имеем:

; , или ;

Интегрируя соотношения по координате z, получаем:

; ,

где , - функции, появляющиеся при интегрировании дифференциальных уравнений в частных производных.

На основании 3-й гипотезы получаем ; , и, следовательно,

; , (1.1)

Используя геометрические уравнения, получаем линейные и угловые деформации в слоях пластины:

; ;

. (1.2)

Как видно, деформации горизонтального слоя поверхности пластинки определяются тремя величинами:

; ; . (1.3)

При малых прогибах первые две величины определяют кривизны элемента срединной поверхности тонкой пластинки в направлении осей х и у соответственно. Третья величина cх у определяет кручение элемента, которую в теории изгиба тонких пластин называют кривизной кручения пластинки.

Из закона Гука (I.5.3,б) с учетом ez = 0 получаем формулы напряжений в поперечных сечениях пластинки:

;

;

. (1.4)

Характер распределения напряжений по толщине пластинки показан на рис. 1.2.

 

Как видно из формул (1.4) нормальные и касательные напряжения по толщине пластинки изменяются по линейному закону. И равны нулю в срединной плоскости пластинки. Из формул (1.1)-(1.4) видно что все параметры напряженно-деформированного состояния при изгибе тонких пластин – перемещения, деформации, напряжения определяются через прогибы срединной поверхности пластинки таким образом, прогибы срединной поверхности тонких пластин является универсальной характеристикой при изгибе тонких пластин.

2.  Внутренн6ие усилия изгиба тонких пластин.

Уравнения равновесия

Суммируя (интегрируя) нормальные касательные напряжения по толщине пластинки получаем обобщенные внутренние усилия – изгибающие и крутящий моменты:

;

;

, (2.1)

Здесь называют изгибной жесткостью пластинки. По аналогии, изгибная жесткость балки - , для баки прямоугольного сечения (b´h) . Множитель 1-n2 в формуле изгибной жесткости пластинки учитывает пространственную деформации элемента пластинки.

Равнодействующие напряжений в формулах изгибающих и крутящего моментов (2.1) определялись на единицу длины пластинки (b=1). При этом получаем единицы измерения изгибающих моментов в пластинках получаем в виде Нм/м. Формально, единицу измерения м можно сократить, однако, чтобы подчеркнуть, что мы имеем дело с изгибающими и крутящим моментами, этого не делают. В теории изгиба пластин и оболочек в качестве единиц измерения изгибающих и крутящих моментов пишут Нм/м, Нсм/см, или просто Нм, Нсм и т. д.