Раздел III Изгиб тонких пластин (стр. 5 )

Если сторона пластинки оперта и параллельна оси х - w(x,y0)=0.. Тогда т = 0, l = 1 и . Если сторона пластинки оперта и параллельна оси у- w(x0,y)=0, то т = 0, l = 1, .

Следовательно, если контур пластинки состоит из криволинейных или прямолинейных защемленных участков, включая шарнирно опертые участки, параллельные осям прямоугольной системы координат, то интеграл от слагаемых, заключенных в квадратные скобки в формуле (4.3.2), равен нулю, и потенциальная энергия деформаций определяется по упрощенной формуле

. (5.6)

6. Аналитические методы расчета прямоугольных пластин

6.1. Цилиндрический изгиб пластин

Цилиндрический изгиб пластин возникает в длинных (бесконечно длинных) пластинках, загруженных неменяющейся в длинном (продольном) направлении нагрузкой. В поперечном (коротком) направлении нагрузка может меняться по произвольному закону. Условия опирания вдоль длинных кромок по каждой из сторон пластинки также должны быть неизменными (рис. 6.1). Очевидно, в этом случае прогибы во все6х поперечных сечениях пластинки будут одинаковы.

Принимаем систему координат: в продольном направлении ось у, в поперечном ось х. Тогда имеем нагрузку , прогибы и, следовательно, все производные прогиба по координате у равны нулю, и уравнение равновесия пластинки получаем в виде

. (6.1.1)

Внутренние усилия при цилиндрическом изгибе пластинки определяются по формулам:

; ; . (6.1.2)

Отметим, что H=0, Qy = 0 и .

Отметим также, что в соответствием с формулами (6.1.2) цилиндрический изгиб возникает в прямоугольных пластинках произвольной длины с неизменными граничными условиями опирания на двух противоположных сторонах (продольных), неизменной формой нагрузки параллельно этим сторонам и не опертыми двумя другими кромками (поперечными) пластинки, к которым приложены моменты распределенными в соответствии с формулой (6.1.2) . Очевидно, закон распределения торцевых моментов зависит от условий опирания и типа нагрузки.

Для удобства, в поперечном направлении, введем безразмерную координату , , .

Очевидно, , Уравнение равновесия цилиндрического изгиба пластинки в безразмерных координатах получаем в виде

. (6.1.3)

Здесь , q0 – некоторая удобная для расчета интенсивность распределенной нагрузки.

Интегрируя уравнений (6.1.3) получаем общее решение прогиба цилиндрического изгиба пластинки

, (6.1.4)

где , G – константа, зависящая от типа нагрузки (может быть прията равной 1).

Уравнение (6.1.1.) является уравнением изгиба балки-полоски, вырезанной из пластинки в поперечном направлении. Функция отражает форму прогиба балки при соответствующих граничных условиях и типе статической нагрузки и носит название статической балочной функции.

Внутренние усилия в безразмерных координатах определяются формулами

; ; . (6.1.5)

Для равномерно распределенной нагрузки , . При 4-х кратном интегрировании получаем , принимаем G=1/24, ; При линейно распределенной нагрузке по ширине пластинки , , , G=1/120, . Если в пролете отсутствует нагрузка, загружены кромки равномерной поперечной нагрузкой или распределенным моментом m0 - G=1, , . При моментной нагрузке на кромке принимается . Нагрузка на кромках пластинки учитывается при удовлетворении граничных условий.

Константы интегрирования сi определяются из граничных условий опирания кромок пластинки. При этом всегда получаем, если из граничных условий на левом краю пластинки (x=0) , , . Оставшиеся две константы определяются из граничных условий на левой кромке пластинки - x=1.

Рассмотрим пластинку шарнирно опертую на левом краю. Тогда ; Мх(0)=0 ® . Тогда k=0, l=2 и с0=с2=0.

Тогда для равномерно распределенной нагрузки при шарнирном опирании левой кромки пластинки, получаем

.

Если правый край пластинки жестко защемлен, то , . Тогда получаем ; .

Решая систему уравнений, получаем , .

. (6.1.6)

Аналогично можно получить функции Х(x) и для других нагрузок и условий опирания продольных кромок пластинки.

В табл. 6.1, 6.2 представлены статические балочные функции, их 2-е и 3-е производные, необходимые для расчета внутренних усилий.

Форм.2 позволяют вычислять прогибы, изгибающие моменты и поперечные силы при цилиндрическом изгибе тонкой пластинки. При этом изгибающие моменты и поперечные силы точно отражают решение в балках при соответствующих условиях опирания и типе нагрузке. Прогибы в пластинки совпадают прогибам балки с точностью, определяемой различием в формуле изгибной жесткости пластинки и балки.

Отметим, что для обратно симметричных условий опирания пластинки (например заделка-шарнир и шарнир-заделка) при симметричной нагрузке относительно середины пролета формулы распределения 2-го варианта можно получить, заменив координату x в формулах 1-го варианта опирания на 1-x, также как и наоборот.

А/. Заделка-шарнир - Х(x)=x2 (3-5x+2x2)/2;

Шарнир-заделка - Х(x)=(1-x)2 [3-5(1-x)+2(1-x)2]/2.

B/. Шарнир-заделка - Х(x)=x(1-3x2+2x3)/2;

Заделка-шарнир - Х(x)=(1-x) [1-3(1-x)2+2(1-x)3]/2.

Раскрывая скобки и приводя подобные члены получим формулы приведенные в табл. 6.1.

q0 q=q0 Таблица 6.1

Схема балки
Х(x)	x2(1- x)2	x2 (3-5x+2x2)/2	x2(6-4x+x2)
Х ”(x)	2(1-6x+6x2)	3(1-5x+4x2)	12(1-x)2
	-12(1-2x)	-3(5-8x)	-24(1-x)
Схема балки
Х(x)	x2 (3-5x+2x2)/2	x(1-3x2+2x3)/2	3-4x+x4
Х ”(x)	3(1-5x+4x2)	-3x(3-4x)	12x2
	-3(5-8x)	-3(1-8x)	24x