Физика (стр. 10 )

Решение

Согласно условию задачи проекции стержня на оси системы координат K равны

, . (1.3.3)

В системе вследствие релятивистского сокращения длины проекция стержня на ось станет равной

, (1.3.4)

в то время как проекция стержня на ось не изменится

. (1.3.5)

Тогда длина стержня в системе станет равной

.

Из условия и формул (1.3.4), (1.3.5) находим угол, образуемый стержнем с осью :

.

Задача 3. Частица с массой покоя m0 в момент t = 0 начинает двигаться под действием постоянной силы F. Найти зависимость от времени t скорости частицы и пройденного ею пути.

Решение

Запишем основное уравнение динамики релятивистской частицы

. (1.3.6)

Разделяя переменные и интегрируя, из (1.3.6) находим

. (1.3.7)

Очевидное начальное условие v(0) = 0 дает . Тогда разрешая (1.3.7) относительно скорости, находим

. (1.3.8)

Используя определение из (1.3.8) находим

.

Задача 4. Определить, какую ускоряющую разность потенциалов должна пройти частица зарядом q и массой покоя m0, чтобы ее скорость стала равной v = nc (n < 1).

Решение

Воспользуемся теоремой о кинетической энергии, согласно которой

, (1.3.9)

где A = qU – работа электрического поля, T – кинетическая энергия частицы. Предполагая, что движение начинается из состояния покоя и используя релятивистскую формулу кинетической энергии, получаем

. (1.3.10)

Используя условие v = nc из (1.3.10) находим необходимую для разгона разность потенциалов

.

Индивидуальные задания

1.3.1. Космический корабль движется со скоростью v = 0,8 c по направлению к Земле. Определить расстояние, пройденное им в системе отсчета, связанной с Землей, за время t0 = 0,5 c, отсчитанное по часам в космическом корабле. Ответ: .

1.3.2. Мюоны, рождаясь в верхних слоях атмосферы, при скорости v = 0,995 c пролетают до распада l = 6 км. Определить: 1) собственную длину пути, пройденную ими до распада; 2) время жизни мюона для наблюдателя на Земле; 3) собственное время жизни мюона. Ответ: ; ; .

1.3.3. Космический корабль удаляется от Земли с относительной скоростью v1 = 0,8 c, а затем с него стартует ракета (в направлении от Земли) со скоростью v2 = 0,8 c относительно корабля. Определить скорость ракеты относительно Земли. Ответ: .

1.3.4. Ионизированный атом, вылетев из ускорителя со скоростью v = 0,8 c, испустил фотон в направлении своего движения. Определить скорость фотона относительно ускорителя. Ответ: .

1.3.5. Две ракеты движутся навстречу друг другу относительно неподвижного наблюдателя с одинаковой скоростью v1 = v2 = 0,5 c. Определить скорость сближения ракет, исходя из закона сложения скоростей: 1) в классической механике; 2) в специальной теории относительности. Ответ: ; .

1.3.6. Определить, на сколько процентов полная энергия релятивистской элементарной частицы, вылетающей из ускорителя со скоростью , больше ее энергии покоя. Ответ: .

1.3.7. Определить скорость, при которой релятивистский импульс частицы превышает ее ньютоновский импульс в 3 раза. Ответ: .

1.3.8. Импульс релятивистской частицы p = m0c. Под действием внешней силы импульс частицы увеличился в 2 раза. Во сколько раз возрастут при этом кинетическая и полная энергии частицы? Ответ: ; .

1.3.9. Кинетическая энергия частицы оказалась равной ее энергии покоя. Определить релятивистский импульс частицы, если ее масса покоя m0. Ответ: .

1.3.10. Определить релятивистский импульс и кинетическую энергию частицы с массой покоя m0, если ее продольные размеры сократились в 2 раза. Ответ: ; .

1.3.11. Определить в электрон-вольтах кинетическую энергию электрона, если полная энергия движущегося электрона втрое больше его энергии покоя. Ответ: .

1.3.12. Определить работу, которую нужно совершить, чтобы увеличить скорость частицы с массой покоя m0 от 0,5 c до 0,7 c. Ответ: A = 0,246m0c2.

1.3.13. Определить, какую ускоряющую разность потенциалов должен пройти протон, чтобы его продольные размеры уменьшились в два раза. Ответ:

1.3.14. Вывести в общем виде зависимость между релятивистским импульсом, кинетической энергией частицы и ее массой покоя. Ответ: .

1.3.15. Определить релятивистский импульс электрона, кинетическая энергия которого Т = 1 ГэВ. Ответ: .

2. Квантовая физика

2.1. Квантовая природа излучения

Справочные сведения

Закон Стефана – Больцмана

,

где  Re– энергетическая светимость (мощность излучения с единицы площади поверхности) абсолютно черного тела,  – постоянная Стефана – Больцмана.

Закон смещения Вина

,

где длине волны соответствует максимальное значение спектральной плотности энергетической светимости абсолютно черного тела,  – постоянная Вина.

Квантовая гипотеза Планка устанавливает пропорциональность между энергией кванта излучения и частотой колебаний

,

где  – постоянная Планка.

Формула Планка для спектральной плотности энергетической светимости абсолютно черного тела имеет вид

.

Уравнение Эйнштейна для внешнего фотоэффекта

,

где A – работа выхода электрона из металла,  – максимальная кинетическая энергия электрона.

Красная граница фотоэффекта может быть определена по формулам