Физика (стр. 16 )

Сравнение второго уравнения (2.2.28) со стационарным уравнением Шредингера позволяет сделать вывод, что константа k не что иное, как энергия частицы E. С учетом этого общие решения уравнений (2.2.28) можно представить в виде

, .

Подставляя полученные решения в (2.2.26), находим

. (2.2.29)

Используя известные соотношения , , , (2.2.29) можно переписать в виде

, (2.2.30)

из которого следует, что первое слагаемое представляет собой волну, движущуюся в положительном направлении оси x, а второе – волну, движущуюся в отрицательном направлении этой оси. Согласно условию c2 = 0 и можно записать окончательный ответ

.

Задача 7. Частица находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Ширина ямы равна l. Найти нормированные волновые функции стационарных состояний частицы, взяв начало отсчета координаты x в середине ямы.

Решение

Согласно условию задачи потенциальная функция имеет вид

U = 0 при и при . Волновая функция должна обращаться в нуль на границах ямы

, , (2.2.31)

и удовлетворять одномерному стационарному уравнению Шредингера внутри ямы

. (2.2.32)

Введем обозначение ; тогда решение уравнения (2.2.32) записывается в виде

. (2.2.33)

Подстановка (2.2.33) в условия (2.2.31) дает систему линейных однородных уравнений

, . (2.2.34)

Система (2.2.34) имеет нетривиальное решение только в том случае, когда ее определитель равен нулю, что приводит к уравнению

,

решение которого записывается в виде

. (2.2.35)

В случае, когда n – нечетное, из системы (2.2.34) получаем b = 0, если же n – четное, то аналогично находим a = 0. Таким образом, решение задачи имеет вид

, ; ,

Условие нормировки волновой функции позволяет определить амплитуду волновой функции:

(аналогично вычисляется ). Тогда нормированная волновая функция записывается в виде

;

Задача 8. Частица массы m находится в одномерном потенциальном поле U(x) в стационарном состоянии , где A и  – постоянные (). Найти энергию E частицы и вид функции U(x), если U(0) = 0.

Решение

Воспользуемся уравнением Шреденгера для стационарных состояний

(2.2.36)

и подставим в него выражение для волновой функции и ее второй производной . После сокращения на экспоненту получим уравнение

. (2.2.37)

Используя условие U(0) = 0, из (2.2.37) находим

. (2.2.38)

Подставляя (2.2.38) в (2.2.37), находим вид потенциальной функции U(x)

.

Задача 9. Волновая функция, описывающая некоторую частицу, имеет вид , где r – расстояние этой частицы до силового центра; a – некоторая постоянная. Определить среднее расстояние частицы до силового центра.

Решение

Предварительно найдем значение нормировочного коэффициента A в выражении волновой функции, для чего используем условие нормировки вероятностей

. (2.2.39)

Учитывая, что элемент объема определяется по формуле , получаем

.

Полагая и , и интегрируя по частям, получаем

. (2.2.40)

Первое слагаемое в (2.2.40) равно нулю, а интеграл во втором слагаемом можно вычислить при помощи известного соотношения

,

с помощью которого получаем

,

что позволяет из (2.2.40) получить уравнение

. (2.2.41)

Решая (2.2.41), находим

. (2.2.42)

Для определения среднего расстояния от частицы до силового центра воспользуемся формулой

. (2.2.43)

Подставляя в (2.2.43) выражение для волновой функции с учетом (2.2.42) и интегрируя по частям, получаем

.

Индивидуальные задания

2.2.1. Максимальная длина волны спектральной линии серии Лаймана равна 0,12 мкм. Предполагая, что постоянная Ридберга неизвестна, определить максимальную длину волны линии серии Бальмера. Ответ: .

2.2.2. Определить число спектральных линий, испускаемых атомарным водородом, возбужденным на n-й энергетический уровень. Ответ: .

2.2.3. Используя теорию Бора для атома водорода, определить: 1) радиус ближайшей к ядру орбиты; 2) скорость движения электрона по этой орбите. Ответ: ; .

2.2.4. Используя теорию Бора, определить орбитальный магнитный момент электрона, движущегося по третьей орбите атома водорода. Ответ: .

2.2.5. Определить изменение орбитального механического момента электрона при переходе его из возбужденного состояния в основное с испусканием фотона с длиной волны . Ответ: .

2.2.6. Определить при помощи теории Бора: 1) частоту вращения электрона, находящегося на первой боровской орбите; 2) эквивалентный ток. Ответ: ; .