Физика (стр. 2 )

Рис. 1.1.2

. (1.1.9)

Угловой коэффициент касательной

, (1.1.10)

где обозначено и учтено .

Из прямоугольного треугольника следует

, (1.1.11)

причем углы , и связаны очевидным равенством

. (1.1.12)

Исключая из системы (1.1.9) – (1.1.12) углы при помощи тригонометрических формул и опуская индексы получаем дифференциальное уравнение

(1.1.13)

с начальным условием

. (1.1.14)

Полученное уравнение можно преобразовать к виду

,

откуда следует

. (1.1.15)

Подстановка начального условия (1.1.14) в (1.1.15) дает , что позволяет записать решение задачи в виде

. (1.1.16)

Возвращаясь к переменной , после некоторых преобразований получаем следующее уравнение поверхности

, (1.1.17)

вид которого позволяет сделать вывод, что искомая поверхность имеет форму эллипсоида вращения. Решая (1.1.17) относительно x, окончательно находим

. (1.1.18)

Из полученного решения следует, что существует пучок максимального радиуса, который может быть сфокусирован данной поверхностью. Радиус пучка находим из условия , что дает

.

Задача 3. На высоте от поверхности воды расположен точечный источник света. Где будет находиться изображение этого источника, даваемое плоским зеркальным дном сосуда, если толщина слоя воды ? Показатель преломления воды .

Решение

Будем рассматривать падение световых лучей на поверхность воды под малыми углами (рис. 1.1.3). Мнимое изображение источника находится в точке F, в которой пересекаются продолжения лучей HA и FG, отразившихся от зеркала и вышедших после преломления в воздух. Обозначим искомое расстояние от источника до его изображения AF = S. Согласно закону преломления света

. (1.1.19)

Из треугольников ABC и BDE находим

, . (1.1.20)

Согласно обозначениям на рисунке

. (1.1.21)

Рис. 1.1.3

Из подобия треугольников и следует

,

откуда получаем

(1.2.2)

Используя условие малости углов, в пределе получаем

,

что после подстановки в (1.1.22) позволяет записать ответ

.

Задача 4. Узкий луч света падает на горизонтальную водную поверхность под углом . Под каким минимальным углом к поверхности воды нужно установить в воде зеркало, чтобы луч, отразившись от него, не мог бы выйти из воды в воздух? Показатель преломления воды n.

Решение

Несложный анализ показывает, что возможно два положения зеркала по отношению к падающему лучу, обеспечивающих падение отраженного от зеркала луча на границу раздела вода-воздух под углом полного внутреннего отражения (на рис. 1.1.4 а, б показан ход луча в этих двух случаях).

Рис 1.1.4а	Рис. 1.1.4б

Очевидно, что во втором случае удается добиться меньшего значения угла расположения зеркала относительно поверхности воды, поэтому перейдем к анализу ситуации, изображенной на рис. 1.1.4б. Согласно закону преломления света

. (1.1.23)

Из условия падения отраженного от зеркала луча на границу раздела вода-воздух под углом полного внутреннего отражения получаем

. (1.1.24)

Применяя закон отражения света от зеркала и элементарные свойства углов, можно получить следующее соотношение, связывающее углы, обозначенные на рисунке

, (1.1.25)

Решая систему (1.1.23) – (1.1.25), легко находим

. (1.1.26)

Используя соотношение

,

выражение (1.1.26) можно преобразовать к виду

.

Задача 5. Два параллельных световых луча падают нормально на боковую поверхность прозрачного цилиндра. Расстояние между лучами равно радиусу основания цилиндра. Найти показатель преломления материала цилиндра, при котором лучи после преломления пересекутся на поверхности цилиндра.

Решение

Ход лучей после преломления на поверхности цилиндра изображен на рисунке 1.1.5 (здесь цифрами обозначены световые лучи, SS1 – касательная, а OA – нормаль к поверхности цилиндра).

Согласно закону преломления света

Рис. 1.1.5

. (1.1.27)

Из треугольника находим

. (1.1.28)

Из треугольника аналогично

. (1.1.29)

Используя известное тригонометрическое тождество, из (1.1.29) получаем

. (1.1.30)

Подставляя (1.1.28), (1.1.30) в (1.1.27), окончательно находим

.

Задача 6. Экран расположен на расстоянии от отверстия, в которое вставлена линза радиусом . На линзу падает сходящийся пучок лучей, в результате чего на экране образуется светлое пятно радиусом . Оказалось, что если линзу убрать, радиус пятна не изменится. Найти фокусное расстояние линзы.

Решение

Предположим, что линза собирающая и изобразим ход лучей при наличии линзы (рис. 1.1.6а).

Рис. 1.1.6а

Из подобия треугольников и следует