Физика (стр. 3 )

, (1.1.31)

где согласно условию

. (1.1.32)

Решая систему (1.1.31), (1.1.32), находим расстояние изображения

. (1.1.33)

Аналогично рассматриваем ход лучей без учета линзы (рис. 1.1.6б).

Рис. 1.1.6б

Из подобия треугольников и находим

, (1.1.34)

где расстояние предмета

. (1.1.35)

Решая совместно (1.1.34), (1.1.35), получаем

. (1.1.36)

Подставляя (1.1.33), (1.1.36) в формулу тонкой линзы с учетом того, что в данном случае предмет мнимый, находим фокусное расстояние линзы

. (1.1.37)

Несложный анализ показывает, что в случае рассеивающей линзы ход лучей за препятствием, изображенный на рис. 1.1.6а, будет соответствовать отсутствию линзы, а изображенный на рис. 1.1.6б – ее наличию. Аналогичный метод решения позволяет получить для этого случая ответ, отличающийся от (1.1.37) только знаком, что позволяет записать решение задачи для произвольной линзы в виде

.

Задача 7. Перемещая собирающую линзу между предметом и экраном, нашли два положения, при которых линза дает на экране четкое изображение предмета. Найти высоту предмета , зная, что высота первого изображения , а высота второго изображения .

Решение

Запишем формулу тонкой линзы для двух случаев, о которых идет речь в условии задачи

, , (1.1.38)

где согласно условию

. (1.1.39)

Из формулы увеличения тонкой линзы следует

, . (1.1.40)

Решая систему (1.1.38) – (1.1.40), получаем

.

Задача 8. Светящаяся точка движется со скоростью v, параллельно главной оптической оси тонкой собирающей линзы, на расстоянии h от нее. Найти мгновенную скорость u движения изображения точки как функцию расстояния предмета d. Фокусное расстояние линзы равно F.

Решение

Запишем формулу тонкой линзы в некоторый момент времени, когда расстояния предмета и изображения равны d и f соответственно

. (1.1.41)

Через промежуток времени dt расстояние предмета станет
d1 = d – vdt и формула тонкой линзы примет вид

. (1.1.42)

Выражая из (1.1.41), (1.1.42) расстояния изображения, находим

. (1.1.43)

Применяя формулу , справедливую при малых x, из (1.1.43) получаем

,

откуда следует выражение для составляющей скорости изображения, параллельной оптической оси линзы:

. (1.1.44)

Для получения выражения составляющей скорости изображения, перпендикулярной оптической оси линзы, запишем по аналогии формулы линейного увеличения линзы

, , (1.1.45)

где h1, h2 – расстояния от изображения точки до оптической оси линзы в начальный и бесконечно близкий к нему моменты времени. Поступая аналогично первой части задачи, из (1.1.45) находим

,

откуда для перпендикулярной к оптической оси линзы составляющей скорости следует

. (1.1.46)

Тогда для модуля скорости изображения точки из (1.1.44), (1.1.46) находим

.

Задачи для самостоятельного решения

1. Человек, рост которого h = 1,7 м, идет по направлению к уличному фонарю со скоростью . В некоторый момент времени длина тени человека была l1 = 1,8 м, а спустя время t = 2 c длина тени стала l2 = 1,3 м. На какой высоте висит фонарь? Ответ: .

2. Два плоских зеркала расположены под углом друг к другу, и между ними помещен точечный источник света. Изображение источника в первом зеркале находится на расстоянии a1 = 6 см, а во втором зеркале – на расстоянии а2 = 8 см от источника. Расстояние между изображениями источника l = 10 см. Найти угол между зеркалами. Ответ: .

3. На плоскопараллельную стеклянную (n = 1,5) пластинку толщиной d = 5 см падает под углом луч света. Определить смещение луча, прошедшего через пластинку. Ответ: .

4. Какова толщина d стеклянной плоскопараллельной пластинки, если точку на задней поверхности пластинки наблюдатель видит на расстоянии l = 5 см от передней поверхности? Показатель преломления стекла n = 1,6. Ответ: .

5. Человек с лодки рассматривает предмет, лежащий на дне. Глубина водоема равна H, показатель преломления воды равен n. Определить зависимость кажущейся глубины h предмета от угла , который образует луч зрения с нормалью к поверхности воды. Ответ: .

6. На дне сосуда, наполненного водой (n = 1,33) до высоты h = 25 см находится точечный источник света. На поверхности воды плавает непрозрачная пластинка так, что центр пластинки находится над источником света. Определите минимальный диаметр пластинки, при котором свет не пройдет сквозь поверхность воды. Ответ: .

7. Водолаз стоит на горизонтальном дне водоема, имеющего глубину H = 15 м. На каком расстоянии l от водолаза, рост которого h = 1,7 см, находятся те части дна, которые он может увидеть отраженными от поверхности воды? Показатель преломления воды n = 1,33. Ответ: .

8. Призма с преломляющим углом сделана из стекла с показателем преломления n = 1,75. При каком угле падения луча света на одну из граней выход луча из второй грани становится невозможным? Ответ: .

9. Определить расстояние от собирающей линзы с фокусным расстоянием F до предмета, при котором расстояние от предмета до действительного изображения будет минимальным. Ответ: d = 2F.

10. Двояковыпуклая линза с показателем преломления n = 1,5 имеет одинаковые радиусы кривизны поверхностей R1 = R2 = R = 10 см. Изображение предмета с помощью этой линзы оказывается в k = 5 раз больше предмета. Определить расстояние от предмета до изображения. Ответ: .

11. Точечный источник света находится на главной оптической оси линзы на расстоянии d = 25 см от нее. Фокусное расстояние линзы F = 10 см, ее радиус r = 5 см. По другую сторону линзы ставят экран так, что на нем получается четкое изображение источника. Затем экран перемещают вдоль оси на расстояние a = 5 см. Найти радиус R светлого круга на экране. Ответ: .