Физика (стр. 12 )

, (2.1.15)

, (2.1.16)

где длины волн связаны условием

. (2.1.17)

Решая систему уравнений (2.1.15) – (2.1.17), находим

.

Задача 6. Определить, с какой скоростью должен двигаться электрон, чтобы его импульс был равен импульсу фотона с длиной волны .

Решение

Предварительно сравним энергию фотона с энергией покоя электрона

,

.

Вычисления показывают, что энергия фотона больше энергии покоя электрона, следовательно, при решении задачи необходимо использовать формулы специальной теории относительности. Приравнивая формулы импульса фотона и релятивистского электрона, получаем

. (2.1.18)

Решая (2.1.18) относительно скорости электрона, получаем

.

Задача 7. В космосе движется пылинка плотностью , поглощающая весь падающий на нее свет. Зная мощность излучения Солнца , найти радиус пылинки, при котором ее гравитационное притяжение к Солнцу компенсируется силой светового давления.

Решение

Согласно условию задачи сила всемирного тяготения должна уравновешиваться силой светового давления, поэтому

. (2.1.19)

По закону всемирного тяготения

, (2.1.20)

где массу пылинки можно записать в виде

; (2.1.21)

здесь r – радиус пылинки, R – расстояние от пылинки до Солнца.

Сила светового давления равна

, (2.1.22)

где проекция поверхности пылинки на плоскость, перпендикулярную солнечным лучам, имеет площадь

, (2.1.23)

а давление связано с мощностью излучения Ф1, пронизывающего поверхность пылинки формулой

. (2.1.24)

Мощность излучения, приходящуюся на пылинку, можно выразить через мощность солнечного излучения при помощи пропорции

. (2.1.25)

Исключая из системы (2.1.19) – (2.1.25) неизвестные, получаем формулу для радиуса пылинки

.

Подстановка числовых значений дает

.

Задача 8. В результате столкновения фотона и протона, летевших по взаимно перпендикулярным направлениям, протон остановился, а длина волны фотона изменилась на . Чему был равен импульс фотона? Скорость протона считать v < < c .

Решение

Воспользуемся для решения задачи законами сохранения импульса и энергии. Пусть первоначальный импульс фотона p1 направлен по оси OX, импульс протона p2 – по оси OY, а импульс фотона после рассеяния образует с осью OX угол (рис. 2.1.1). Учитывая, что движение протона по условию можно описывать классическими формулами, по закону сохранения энергии имеем

. (2.1.26)

Рис. 2.1.1

Закон сохранения импульса в проекциях на оси и дает

, . (2.1.27)

Изменение длины волны рассеянного фотона по условию удовлетворяет формуле

. (2.1.28)

Выразим из (2.1.27) и , возведем эти уравнения в квадрат, сложим и воспользуемся основным тригонометрическим тождеством. В результате получим

. (2.1.29)

Исключая из (2.1.26), (2.1.29) при помощи (2.1.28), преобразуем эти уравнения к виду

, (2.1.30)

. (2.1.31)

Исключая теперь из системы (2.1.30), (2.1.31) скорость протона, находим длину волны фотона до рассеяния

,

после чего определяем первоначальный импульс фотона

.

Задача 9. Узкий пучок монохроматического рентгеновского излучения падает на рассеивающее вещество. При этом длины волн смещенных составляющих излучения, рассеянного под углами и , отличаются друг от друга в раза. Считая, что рассеяние происходит на свободных электронах, найти длину волны падающего излучения.

Решение

Воспользуемся формулами изменения длины волны при комптоновском рассеянии для двух углов рассеяния, упомянутых в условии

, . (2.1.32)

Деля второе уравнение (2.1.32) на первое, получаем

. (2.1.33)

Решая (2.1.33), находим длину волны падающего на вещество излучения

.

Задача 10. Фотон с энергией, в раза превышающей энергию покоя электрона, рассеялся назад на неподвижном свободном электроне. Найти радиус кривизны траектории электрона отдачи в магнитном поле с индукцией B = 0,12 Тл , предполагая, что линии индукции перпендикулярны вектору скорости электрона.

Решение

Запишем выражение изменения длины волны света при комптоновском рассеянии

. (2.1.34)

Перейдем в (2.1.34) от длин волн к энергиям при помощи соотношения и учтем, что угол рассеяния . В результате получим

, (2.1.35)

где  – энергия покоя электрона. С учетом того, что , находим из (2.1.35) энергию рассеянного фотона

и кинетическую энергию электрона отдачи

. (2.1.36)

Как известно, радиус окружности, по которой электрон движется в магнитном поле, определяется по формуле

, (2.1.37)

где с учетом релятивистского характера движения электрона

. (2.1.38)

Используя релятивистскую формулу кинетической энергии

,

из (2.1.36) после алгебраических преобразований можно получить