Физика (стр. 15 )

.

Сила эквивалентного тока, вызванного вращением электрона равна

. (2.2.5)

Используя теперь формулу индукции в центре кольца с током, при помощи (2.2.3), (2.2.5) находим

.

Подстановка числовых значений приводит к ответу

.

Задача 2. Найти квантовое число n, соответствующее возбужденному состоянию иона He+, если при переходе в основное состояние этот ион испустил последовательно два фотона с длинами волн и .

Решение

Воспользуемся вторым постулатом Бора, согласно которому энергия излученного (поглощенного) кванта света равна разности энергий стационарных состояний атома

. (2.2.6)

Перейдем в этом выражении от частоты к длине волны по формуле и используем выражение для энергии стационарного состояния водородоподобного иона

. (2.2.7)

В результате получим

, (2.2.8)

где  – постоянная Ридберга. Согласно условию задачи атом переходит в основное состояние в два этапа, излучая последовательно два фотона. Пусть квантовое число, соответствующее промежуточному состоянию атома, равно k. Тогда, применяя два раза уравнение (2.2.8), получаем

, (2.2.9)

. (2.2.10)

Складывая уравнения (2.2.9), (2.2.10), находим

,

откуда следует

.

Задача 3. Найти дебройлевскую длину волны релятивистских электронов, подлетающих к антикатоду рентгеновской трубки, если длина волны коротковолновой границы сплошного рентгеновского спектра .

Решение

Предположим, что столкновение электрона с антикатодом является абсолютно неупругим, и в результате электрон полностью теряет свою кинетическую энергию, передавая ее фотону рентгеновского излучения. Тогда по закону сохранения энергии

, (2.2.11)

где с учетом релятивистского характера движения электрона для его кинетической энергии необходимо использовать формулу

. (2.2.12)

Решая систему (2.2.11), (2.2.12) относительно скорости электрона, после алгебраических преобразований находим

. (2.2.13)

С учетом релятивистской формулы для импульса выражение длины волны де Бройля примет вид

, (2.2.14)

и после подстановки (2.2.13) в (2.2.14) получаем

.

Подстановка в (2.2.14) числовых значений дает

.

Задача 4. Узкий пучок моноэнергетических электронов падает под углом скольжения на естественную грань монокристалла алюминия. Расстояние между соседними кристаллическими плоскостями, параллельными этой грани монокристалла d = 0,2 нм. При некотором ускоряющем напряжении U0 наблюдали максимум зеркального отражения. Найти U0, если известно, что следующий максимум зеркального отражения возникал при увеличении ускоряющего напряжения в раза. Считать выполненным условие v < < c.

Решение

Воспользуемся формулой Вульфа – Брэггов, определяющей условия дифракционных максимумов при дифракции на кристалле

. (2.2.15)

Применяя формулу (2.2.15) для двух случаев падения электронного пучка, получаем

, , (2.2.16)

где и  – дебройлевские длины волн электронов, k – номер максимума зеркального отражения.

Запишем выражение для длины волны де Бройля, используя классическую формулу связи импульса и кинетической энергии частицы

, (2.2.17)

где согласно теореме о кинетической энергии

(2.2.18)

(предполагаем, что начальной кинетической энергией электронов можно пренебречь).

Используя (2.2.17), (2.2.18), дебройлевские длины волн электронов можно записать в виде

, . (2.2.19)

Решая систему уравнений (2.2.16), (2.2.19), находим величину ускоряющего напряжения

.

Подстановка данных задачи дает

.

Задача 5. Оценить с помощью соотношения неопределенностей минимально возможную энергию электрона в атоме водорода и соответствующее эффективное расстояние его от ядра.

Решение

Полагая неопределенности координаты и импульса равными координате и импульсу , , из соотношения неопределенностей находим

. (2.2.20)

Полная энергия электрона в атоме складывается из его кинетической энергии и потенциальной энергии в кулоновском поле ядра

. (2.2.21)

С учетом (2.2.20) формулу для полной энергии можно записать в виде

. (2.2.22)

Так как по условию энергия электрона должна быть минимальной, исследуем на экстремум:

. (2.2.23)

Легко убедиться при помощи достаточного условия экстремума, что найденное значение обеспечивает минимум полной энергии электрона

. (2.2.24)

Расчеты по формулам (2.2.23), (2.2.24)

,

,

показывают, что в результате получился первый боровский радиус и энергия основного состояния атома водорода.

Задача 6. Найти решение нестационарного уравнения Шредингера для свободной частицы массы m, движущейся в положительном направлении оси x с импульсом p.

Решение

В случае свободного одномерного движения частицы (U = 0) нестационарное уравнение Шредингера записывается в виде

. (2.2.25)

Будем решать данное уравнение методом разделения переменных, полагая, что искомая функция является произведением двух функций, одна из которых зависит только от пространственной координаты, а другая – только от времени:

. (2.2.26)

Подставляя (2.2.26) в (2.2.25) и разделяя переменные, получаем

. (2.2.27)

Так как левая часть (2.2.27) зависит только от времени, а правая – только от пространственной координаты, уравнение (2.2.27) может выполняться только в том случае, когда обе части этого уравнения равны одной и той же константе. Обозначим эту константу k и запишем два получившихся уравнения

, . (2.2.28)