Введение (стр. 10 )

(39)

Используя (34) и (39), можно вычислить главные инварианты девиатора:

(40)

(41)

(42)

Из формулы (41) следует, что второй инвариант девиатора – отрицательное число:

(43)

Задачи

1. Найти шаровую часть и девиатор тензора:

а) ;

б) .

2. Указать главные инварианты девиатора тензора , если

а) ;

б) ;

в) .

3. Определить собственные значения и собственные векторы девиатора тензора , заданного последними тремя разложениями.

4. Показать, что первый инвариант девиатора тензора всегда равен 0.

5. Доказать формулу (41) для второго инварианта девиатора.

§10. Тензорные поля

Определение. Тензорным полем называется отображение, ставящее в соответствие каждой точке области некоторый тензор.

Тензорное поле можно рассматривать как функцию радиус-вектора или декартовых координат точки:

Здесь - вектор-радиус точки области, - координаты этой точки, - символ функции, задающей поле. Обозначим r – ранг тензора .

Определение. Если существует тензор ранга (r+1), обозначаемый символом , такой, что для любого вектора выполняется условие:

, (44)

то этот тензор называется градиентом тензорного поля .

Поясним определение (44) на примере скалярного поля (тензорного поля ранга r=0). Из курса анализа известно, что скалярное поле выражает физический смысл функции нескольких переменных. Будем рассматривать плоское поле:

.

Чтобы изучить изменение поля при переходе в другую близкую точку области, используется понятие градиента функции:

.

При помощи вектора достигается описание главной части полного приращения функции по любым путям изменения переменных :

Здесь - модуль элементарного вектора , задающего путь изменения аргументов, - направляющий угол. С другой стороны, рассматривая как функцию параметра , можно иначе записать главную часть приращения функции поля:

Сравнивая правые части, получаем определение градиента тензорного поля ранга 0.

Пусть приращение радиус-вектора . Тогда, учитывая (44), можно выразить главную часть приращения тензорного поля (дифференциал) соотношением:

(45)

Формула (45) дает другое равнозначное определение градиента тензорного поля. Градиент учитывает изменение тензорного поля при переходе к близкой точке.

Рассмотрим как функцию координат: . Тогда

Учитывая определение (44), находим выражение градиента тензорного поля:

(46)

Формула (46) позволяет ввести символический вектор - набла-оператор Гамильтона:

(47)

Координатами этого вектора являются операторы частного дифференцирования по переменным . Применение упрощает тензорный анализ. Например, для векторного поля градиент – это тензор второго ранга

.

Градиент скалярного поля – вектор:

.

Задачи

1. Доказать, что, если координаты являются функциями , то .

2. Найти точку, в которой градиент плоского поля, заданного функцией равен .

3. Пусть , - дифференцируемые функции, - постоянная величина. Доказать соотношения:

а)

б)

в)

§11. Дивергенция и ротор векторного поля

Определение. Операция называется дивергенцией тензорного поля, задаваемого отображением .

Дивергенция тензора второго ранга – это вектор:

.

Дивергенция вектора - это скаляр:

.

Определение. Операция называется ротором тензорного поля .

Тензор имеет тот же ранг что и сам тензор . Компоненты ротора удобно находить с помощью набла-оператора. Например, запишем выражение ротора векторного поля:

.

Или в традиционных обозначениях:

.

Теорема. Для всякого дважды непрерывно дифференцируемого тензорного поля справедливы соотношения – фундаментальные тождества тензорного анализа:

(48)

(49)

Доказательство. Докажем равенство (48):

.