Введение (стр. 1 )

Введение

В предлагаемом курсе лекций рассмотрены, в основном, декартовы тензоры второго ранга. Тензор трактуется, как линейное преобразование трехмерного евклидова пространства. При изложении материала выбран бескоординатный способ. При таком подходе не затеняется физический смысл тензора, основные положения тензорной алгебры усваиваются быстрее.

В данном пособии рассмотрены различные способы определения тензора второго ранга, даны определения операций с тензорами в операторном и компонентном виде. Приведены некоторые примеры тензоров второго ранга, встречающихся в механике и физике. Рассмотрены также вопросы тензорного анализа. Отдельно изучается понятие градиента деформации, тензоров деформации и напряжения. В конце каждого раздела теоретический материал завершается набором задач.

При подготовке курса автор широко использовал методологический подход, развиваемый в [1], [2], а также задачи из книг [2], [3], [4], [6]. Основная цель, которую ставил автор - сделать доступным важное понятие тензора для студента технического вуза, освоившего курс линейной алгебры [5], а также разделы математического анализа: «Кратные интегралы и векторный анализ» [7]. Читатель, проявивший интерес к данной тематике, сможет в дальнейшем с меньшими усилиями углубить свои знания по тензорной алгебре и тензорному анализу, изучить литературу, рассчитанную на подготовленного читателя.

Автор благодарит профессора Ростовского госуниверситета за ценные замечания и предложения.

§1. Понятие тензора

При изучении свойств деформируемых твердых тел встречаются принципиально разные физические характеристики. Например, плотность и температура не зависят от направления. Их называют скалярами (тензорами нулевого ранга). Скаляр задается лишь числом. Другие величины (скорость, сила, напряженность электрического поля) характеризуются не только числом, но и направлением. Их называют векторами (тензорами первого ранга). В отличие от скаляра для задания вектора требуется упорядоченный набор чисел.

Далее рассматривается трехмерное векторное пространство, в котором определено скалярное произведение. То есть векторы будем рассматривать, как элементы евклидова пространства, задавая их в ортонормированном базисе.

Пусть - исходная декартова прямоугольная система координат («старые» оси), - система координат, полученная поворотом старой. Обозначим орты старого и нового триэдров соответственно . Пусть - направляющие косинусы. Учитывая, что координатами единичного вектора являются направляющие косинусы, для «новых» базисных векторов имеем разложения:

(1)

Заметим, в правой части соотношения (1) подразумевается суммирование, однако символ суммирования опускаем, здесь и ниже принято правило Эйнштейна суммирования по повторяющимся индексам.

Представления вектора в старом и новом базисе имеют вид:

(2)

Введем символы – дельты Кронекера: . Эти символы равны 1, если индексы одинаковые, равны 0, если индексы разные. Будем поочередно скалярно умножать обе части (2) на базисные векторы. Тогда из (2) и (1) следует связь между координатами одного и того же вектора в старых и новых осях:

(3)

Направляющие косинусы – элементы матрицы перехода к новой координатной системе:

Элементы столбца этой матрицы – коэффициенты разложения соответствующего нового базисного вектора по старому базису, элементы строки матрицы – коэффициенты в представлении старых координат с помощью новых. Например, из (3) при следует:

Если ввести матрицы-столбцы из координат вектора, то вместо (3) можно записать произведение матриц:

или сокращенно .

Здесь - обратная матрица (матрица - невырожденная, так как ). - обозначения матриц-столбцов из координат вектора в старом и новом базисах соответственно.

Так как вектор – физический объект, он не должен зависеть от выбора координатной системы. Это приводит к тому, что координаты вектора должны подчиняться закону преобразования (3). Вместо (3) можно записать другое соотношение, в котором новые координаты выражаются при помощи старых координат:

(4)

Соотношение (4) доказывается с помощью формулы:

Следующий после вектора по сложности физический объект – тензор второго ранга.

В системе координат рассмотрим матрицу: .

С помощью этой матрицы вектору сопоставим вектор :

или . (5)

Координаты вектора получены умножением матрицы на матрицу-столбец : .

Определение. Матрица определяет тензор второго ранга , если любому вектору она сопоставляет по правилу (5) некоторый вектор . При этом элементы матрицы называются компонентами тензора в выбранном базисе, если при переходе к новым осям они преобразуются по правилу

(6)

Требование (6) включено в определение тензора для того, чтобы при поворотах координатных осей компоненты векторов и подчинялись закону (3). Пусть . Так как то .

В матричном виде условие (6) принимает вид:

(7)

В самом деле, , матрицы и должны быть подобны.

Итак, если для каждой декартовой системы координат задана совокупность чисел , которые при повороте триэдра преобразуются по закону (6), то задан тензор второго ранга . С помощью один физический объект – вектор преобразуется в другой физический объект – вектор . Природа указанных векторов может различаться. Поэтому из (5) следует, что посредством тензора определена величина, имеющая самостоятельное физическое содержание. Тензор нельзя отождествлять с матрицей : самостоятельная физическая величина, для задания которой в выбранном базисе нужна эта матрица.