Введение (стр. 7 )

(28)

Это однородная система линейных алгебраических уравнений для неизвестных . Из определения (27) ясно, если - собственный вектор, то - также собственный вектор. Поэтому для определенности уравнения (28) в дальнейшем будем дополнять условием нормировки: . Необходимым и достаточным условием существования нетривиальных решений (28) является обращение в нуль определителя этой системы:

(29)

Уравнение (29) называется характеристическим уравнением тензора . Решая это уравнение, находят собственные значения тензора. Подставляя в (28) найденные значения , получают систему для нахождения координат соответствующего собственного вектора.

Условие (27) можно переписать в виде , а характеристическое уравнение (29) в бескоординатной форме . Поскольку матрицы тензора в разных базисах подобны: , где - матрица тензора в базисе , а - матрица того же тензора в базисе , полученном с помощью матрицы перехода , то, учитывая свойство определителей

,

видим, что характеристическое уравнение не зависит от выбора базиса. То есть, коэффициенты уравнения (29) – инварианты. Это оправдывает название «характеристическое уравнение тензора». Запишем уравнение (29) в виде:

(30)

Коэффициенты уравнения (30) выражаются через компоненты тензора по формулам:

(31)

Подчеркнем, - инварианты тензора , то есть в разных базисах это одни и те же наборы чисел. Для тензора можно построить и другие инварианты, однако играют особую роль и называются главными инвариантами тензора.

Теорема. Все собственные значения симметричного тензора второго ранга – вещественные числа, а собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям, ортогональны.

Доказательство этой теоремы опирается на свойства самосопряженного оператора, который изучается в курсе линейной алгебры. Линейное преобразование евклидова пространства называется самосопряженнным, если для любых векторов выполняется условие: .

Самосопряженный оператор обладает следующими свойствами:

1.  Матрица самосопряженного преобразования в любом ортонормированном базисе симметрична и, наоборот, если в каком-либо ортонормированном базисе матрица линейного оператора симметрична, то этот оператор самосопряженный.

2.  Все собственные значения самосопряженного оператора - действительные числа.

3.  Собственные векторы, отвечающие различным собственным числам, ортогональны.

4.  Для всякого самосопряженного преобразования евклидова пространства существует ортонормированный базис (из собственных векторов), в котором матрица оператора имеет диагональный вид. Диагональные элементы этой матрицы – собственные значения оператора, повторенные в соответствии с их кратностью.

Применяя последнюю теорему, можно построить так называемое спектральное разложение тензора.

Пусть - симметричный тензор второго ранга. Выбирая в качестве базиса тройку ортогональных собственных векторов , можно записать представление тензора в виде

Умножая обе части этого представления скалярно на собственный вектор , получаем

, или .

Умножая обе части последнего равенства скалярно поочередно на векторы базиса , видим, что

.

Аналогично вычисляем остальные коэффициенты в представлении по полибазису из собственных векторов:

,

.

Матрица, задающая тензор в таком базисе, диагональная, где ненулевые элементы – собственные числа.

Итак, в базисе из собственных векторов представление тензора имеет наиболее простой вид:

(32)

Выражение (32) называется спектральным разложением симметричного тензора.

Из (32) следуют другие более удобные выражения для вычисления главных инвариантов:

(33)

С помощью соотношений (33) наиболее просто получаются бескоординатные формулы, подчеркивающие инвариантность коэффициентов характеристического уравнения:

(34)

Замечание 1. Направления, задаваемые собственными векторами , , , называются главными направлениями тензора, а разложение (32) называется также представлением тензора в главных осях.

Замечание 2. Пусть симметричный тензор имеет кратные собственные числа.

А. Характеристическое уравнение (29) имеет корень кратности 3:

.

Тогда представление тензора в главных осях принимает вид:

,

где - любой другой ортонормированный базис. Отсюда ясно, в случае собственного значения кратности 3 любая тройка взаимно ортогональных векторов образует совокупность собственных векторов тензора.

Б. . Это случай кратности одного из собственных значений. Соотношение (32) принимает вид:

.

Тензор - двумерный единичный тензор в плоскости с нормалью . Так как , где - любая пара взаимно ортогональных векторов таких, что , то в качестве собственных векторов, отвечающих , берут любую пару ортов в плоскости с нормалью .

Замечание 3. Геометрическая интерпретация симметричного тензора. Пусть . Умножая этот тензор скалярно слева и справа на некоторый вектор , получим квадратичную форму для трех переменных , , :