Введение (стр. 11 )

Учитывая, что , а также равенство смешанных производных, получаем

.

Отсюда следует,

, или .

Тождество (48) доказано.

Замечание. Операции дивергенции и градиента используют для введения еще одного дифференциального оператора – оператора Лапласа тензорного поля:

(50)

Этот оператор имеет большое значение в курсе уравнений математической физики.

Задачи

1. Найти дивергенцию и ротор заданного векторного поля:

а) ; б) ; в)

2. Плоское векторное поле образовано силой, обратно пропорциональной квадрату расстояния от точки ее приложения до начала координат и направленной к началу координат. (Плоское электрическое поле, образованное точечным зарядом). Найти дивергенцию и ротор этого поля.

3. Твердое тело вращается с постоянной угловой скоростью вокруг оси . Найти дивергенцию и ротор поля линейных скоростей.

4. Доказать формулу (49).

5. - векторное поле, - скалярное поле. Доказать равенства:

а) ; б) .

6. - скалярное поле. Доказать, что .

7. Доказать тождество: .

§12. Формула Гаусса-Остроградского

Рассмотрим некоторую область трехмерного пространства, ограниченную кусочно-гладкой поверхностью . Потоком векторного поля через поверхность в сторону, определяемую единичным вектором нормали поверхности , называется поверхностный интеграл

Здесь - компоненты вектора поля. Считаем, что эти функции непрерывны вместе с частными производными

. Поток вычисляется методом проектирования на одну из координатных плоскостей. Пусть, например, незамкнутая поверхность задается уравнением и однозначно проектируется в площадку на плоскости . Так как элементарная криволинейная площадка определяется равенством

, где ,

то для вычисления потока можно записать формулу:

.

Предположим, что поверхность - двусторонняя, выбор стороны соответствует выбору знака в формулах направляющих косинусов нормали поверхности. Если рассматривать верхнюю сторону поверхности , то, проектируя вектор элементарной площадки на плоскость , получим проекцию . Если рассматривать нижнюю сторону, то проекция вектора элементарной площадки равна . Вектор элементарной площадки верхней стороны поверхности имеет составляющие . Вектор площадки позволяет ввести бескоординатную запись потока векторного поля: . Символ означает, что поток вектора рассматривается через ориентированную поверхность, определяемую нормалью . Если выразить скалярное произведение через координаты, то придем к поверхностному интегралу второго рода:

.

В курсе математического анализа доказывается теорема: если в некоторой области пространства координаты вектора непрерывны вместе с частными производными , то тройной интеграл по области равен потоку вектора через границу этой области, ориентированную в направлении ее внешней нормали :

(51)

Равенство (51) называется формулой Гаусса-Остроградского, она преобразует объемный интеграл в поверхностный. В координатной форме эта формула имеет вид:

Или,

С помощью равенства (51) выясним физический смысл дивергенции. Пусть в области имеет место стационарное течение жидкости. Поле скоростей частиц жидкости определяется вектором . Выберем произвольно точку , возьмем шар с центром в этой точке малого радиуса . Обозначим его границу, ориентированную с помощью внешней нормали. Тогда, применяя формулу (51), можно записать

.

Левая часть этого равенства по теореме о среднем может быть записана в виде , где - точка внутри шара . В правой части количество жидкости, вытекающее из объема за единицу времени. Отсюда получаем

В силу непрерывности дивергенции после предельного перехода при имеем равенство

.

Видим, дивергенция вектора в точке - это производительность источников, непрерывно распределенных по области , в рассматриваемой точке. Если в этой точке , то производительность источников равна нулю, если , то точка называется источником векторного поля. Точки, в которых , называются стоками. Векторное поле без источников и стоков называется соленоидальным (трубчатым). Из теоремы Гаусса-Остроградского следует, для соленоидального поля поток через любую замкнутую поверхность равен нулю.