Введение (стр. 13 )

(62)

Декартовы координаты точки в - объеме сохраним как ее идентификаторы и в деформированном состоянии:

(63)

- лагранжевы координаты точки , называемые, также, материальными координатами. Они индивидуализируют точку, отличают ее от других точек. - эйлеровы координаты точки. Это координаты места точки в актуальном - объеме. - время.

Отображение (63) задает движение частицы тела. В бескоординатном виде движение определяется функцией:

(64)

Эта функция определяет деформацию среды: положению частицы в отсчетной конфигурации ставится в соответствие ее положение в текущей конфигурации.

Пусть рассматривается некоторая функция частицы и времени . Такую функцию можно задавать двояко:

В первом случае независимыми переменными являются координаты в отсчетной конфигурации и время . Фиксируя координаты, получим фиксированную частицу. При помощи наблюдаем, что происходит с материальной частицей в различные моменты времени. При втором способе независимыми переменными являются и время . Фиксируя координаты , получим фиксированную точку пространства. В различные моменты времени через нее проходят разные частицы. При втором способе наблюдатель следит за тем, что происходит в данной точке пространства в разные моменты времени. Поэтому эйлеровы координаты называют также пространственными.

Определение. Градиентом деформации называется градиент векторного поля , задающего деформацию среды:

(65)

Здесь - набла-оператор в отсчетной конфигурации.

Градиент деформации - невырожденный тензор . Следовательно, существует обратный тензор .

Чтобы прояснить физический смысл градиента, рассмотрим так называемую аффинную деформацию:

не зависит от . При такой деформации среды прямая линия переходит в прямую линию. Очевидно, . Градиент аффинной деформации не зависит от вектора , он равен . Если рассмотреть произвольную деформацию (64), то . В малой окрестности точки приближенно можно считать любую деформацию аффинной. Отсюда можно сделать вывод, что градиент деформации отвечает за линейное приближение отображения (64).

Введем в рассмотрение набла-оператор текущей конфигурации:

(66)

Выясним, как связаны операторы и . Возьмем, например, скалярнозначную функцию частицы:

.

Отсюда следуют формулы:

(67)

(68)

Обращая зависимость (64), можно выразить как функцию : . Тогда . Учитывая, что , имеем . Отсюда следуют равенства:

.

Следовательно, справедливо тождество:

(69)

Задачи

1. Деформация задана в лагранжевой форме: , , , где - положительная константа. Найти эйлеровы уравнения, задающие эту деформацию.

2. Деформация среды задана соотношениями: , , . Найти градиент деформации.

§15. Мера и тензор конечной деформации

Элементарный вектор , соединяющий две близкие точки, после деформации становится равным . С помощью этих векторов найдем квадраты элементарных дуг до деформации и после деформации:

.

Введем в рассмотрение симметричный тензор Коши-Грина:

(70)

Тогда можно записать, . Можно определить и другие меры деформации, позволяющие учитывать изменения элементарных отрезков. Например, рассматривают меру Фингера , меру Альманзи . Ограничимся рассмотрением меры деформации Коши-Грина. Выясним геометрический смысл компонент этого тензора. Пусть , где . Тогда . Отсюда находим отношение новой длины элементарного волокна к старой длине:

(71)

Если выбрать, например, , то получим - относительное удлинение волокна в направлении оси .

Чтобы выяснить, как изменится угол между элементарными волокнами, рассмотрим величину:

Учитывая (71), получим:

(72)

Видим, изменение угла также характеризуется мерой деформации – тензором Коши-Грина. Если взять, например, , то

.