Введение (стр. 4 )

, .

Видим, коэффициенты в разложении по полибазису образуют транспонированную матрицу: , и так далее.

Операция транспонирования обладает свойством:

(15)

4. Свертывание. Это линейная функция, действующая из линейного пространства тензоров второго ранга в пространство тензоров нулевого ранга (скаляров). Операция свертывания понижает ранг тензора на 2 единицы и состоит в скалярном перемножении векторов диад, представляющих тензоры в виде разложений. Операция обозначается символом “tr” (trace). Для диады операция следа определяется равенством:

(16)

Учитывая линейность функции , для тензора имеем формулу:

.

Скаляр называется следом тензора . Ясно, .

5. Простое умножение. Для двух тензоров второго ранга и операция простого умножения состоит в скалярном перемножении «правых» векторов диад в разложении тензора на «левые» вектора диад в разложении тензора :

(17)

Операция простого умножения вводится как операция перемножения линейных преобразований. С этой операцией множество тензоров второго ранга образует кольцо. В результате перемножения тензоров второго ранга получаем снова тензор второго ранга. Из формулы (17) следует, при простом умножении тензоров надо перемножить в соответствующем порядке отвечающие им матрицы. В общем случае операция простого умножения некоммутативная:

.

Операция простого умножения тензора второго ранга на вектор (тензор первого ранга) приводит к вектору:

.

Для всякого тензора второго ранга и любого вектора выполняется тождество:

(18)

6. Косое умножение. Операция определена для тензоров, построенных на основе трехмерного евклидова пространства. Эта операция состоит в векторном перемножении «правых» векторов диад в разложении «левого» сомножителя (тензора ) и «левых» векторов диад в разложении «правого» сомножителя (тензора ). Косое умножение принято обозначать символом «». Ясно, косое произведение тензоров второго ранга – это тензор третьего ранга.

Введем в рассмотрение символы Леви – Чивита . Символом обозначено смешанное произведение тройки векторов : . Этот символ равен 0, если среди индексов имеются одинаковые. Символ Леви - Чивита равен 1, если векторы образуют правую тройку, равен -1, если - левая тройка.

С помощью символов Леви - Чивита удобно записывать векторное произведение базисных векторов:

(19)

Важным примером тензоров третьего ранга является тензор Леви - Чивита: . Он получается косым перемножением единичных тензоров второго ранга. Компонентами тензора в полибазисе, составленном из полидиад , являются символы Леви - Чивита. В самом деле,

.

Применяя формулу (19), можно находить косое произведение любых тензоров. В частности, для тензоров второго ранга получим соотношение:

.

Новую компактную формулу можно привести для вычисления координат векторного произведения двух векторов:

(20)

Например, первая координата (коэффициент при векторе ) равна:

.

То же самое выражение получим, если «раскрывать» определитель в известной формуле векторной алгебры:

.

Используя известное правило представления двойного векторного произведения (задача 5 на с.7):

и формулу (19), можно записать равенства:

Если умножить обе части равенства на , то получим

.

Отсюда, полагая (суммируем по двум индексам и ), имеем

(20)

Если положить (суммирование по трем индексам), то находим

.

Применяя правило (20), можно получить еще одну важную формулу:

.

Введение символов Леви-Чивита значительно сокращает вычисления в тензорной алгебре.

7. Полное умножение. Допускаются к рассмотрению тензоры различного ранга. Однако, ранг левого сомножителя (тензора ) должен быть не меньше ранга правого сомножителя (тензора ). Для разложимых тензоров операция полного умножения состоит в скалярном перемножении последнего вектора на последний вектор , затем перемножении предпоследнего вектора на предпоследний вектор . И так далее до тех пор, пока не будут исчерпаны все векторы тензора . Например, если - тензор 4-го ранга, а - тензор 3-го ранга, то операция полного умножения определяется соотношением:

(21)

Для произвольных тензоров, не являющихся разложимыми, данная операция проводится по правилу умножения многочлена на многочлен. Если ранг левого сомножителя равен p, а ранг правого сомножителя равен q, то полное произведение таких тензоров имеет ранг (p - q). При полном перемножении тензоров второго ранга получится число, равное сумме произведений соответствующих компонент тензоров: