Введение (стр. 5 )

(22)

Это число принимают в качестве скалярного произведения при метризации линейного пространства тензоров второго ранга.

Задачи

Задания этого раздела посвящены различным алгебраическим операциям с тензорами. Величины - произвольные векторы, - произвольные тензоры второго ранга. Тензорам в ортонормированном базисе отвечают матрицы:

.

Векторы соответственно равны и .

1.  Найти линейную комбинацию тензоров:

а) ; б) .

2. Найти тензор, определить его ранг:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

2. Определить след тензора:

а) ; б) ; в) .

3. Выполнить транспонирование тензора, заданного равенством:

а) ; б) ; в) .

4. Выполнить простое умножение:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .

5. Доказать тождества:

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) .

6. Найти косое произведение:

а) ; б) ; в) .

7. Доказать равенства:

а) ; б) ;

в) .

8. Выполнить полное умножение:

а) ; б) ; в) .

9. Доказать тождества:

а) ; б) .

§5. Теорема о линейной тензорной функции

Пусть - любой вектор, - тензор второго ранга. Тогда при помощи соотношения

,

определена линейная функция , которая векторы преобразует снова в векторы. Линейность этой функции следует из линейности операции полного умножения. Справедливо обратное утверждение.

Теорема. Любая линейная функция, преобразующая векторы снова в векторы, представима единственным способом в виде полного произведения некоторого тензора второго ранга на вектор :

(23)

Доказательство. Пусть - произвольная линейная функция - линейное преобразование пространства векторов. Так как - линейная функция, то

(24)

Отметим, - векторы. Возьмем тензор второго ранга в виде суммы диад: . Этот тензор удовлетворяет условиям теоремы. В самом деле,

.

Покажем, что - единственный тензор, представляющий функцию . Пусть - другой тензор, представляющий ту же самую функцию , т. е. . Из (23) следует, . Или . Равенство должно выполняться при любых векторах . Что возможно только в случае, если - нуль-тензор: если взять, например, вектор , то получим условия , , . Теорема доказана полностью.

Замечание. Из теоремы следует, всякий тензор второго ранга можно интерпретировать как линейный оператор в евклидовом пространстве. Значение этого оператора на векторе получается умножением данного тензора на вектор .

В общем случае . При перестановке сомножителей тензор надо транспонировать:

(25)

Формулу (25) можно проверить с помощью равенств:

Определение. Тензор 2-го ранга называется симметричным, если . Тензор называется антисимметричным, если . Справедливо следующее утверждение.

Теорема. Всякий тензор второго ранга можно единственным образом представить в виде суммы симметричного и антисимметричного тензоров.

Доказательство. Пусть произвольный тензор. Представим его суммой:

.

Можно видеть, учитывая (15), что и - симметричная и антисимметричная части тензора :