Введение (стр. 9 )

3. Используя (35), доказать, что для любого тензора второго ранга справедлива формула:

.

4. Найти главные инварианты тензора .

5. - ортогональный тензор. Доказать, что его главные инварианты связаны соотношениями:

.

6. Найти главные инварианты тензора , если

.

Указание: Обратный тензор найти с помощью формулы Гамильтона-Кэли.

§8. Полярное разложение тензора

Определение. Симметричный тензор называется положительно определенным, если для любого ненулевого вектора выполняется условие

(36)

Если неравенство нестрогое, то положительно полуопределенный тензор. Собственные значения положительно определенного тензора - положительные числа, полуопределенного – неотрицательные. Это становится понятным, если условие (36) проверить на собственных векторах. Из критерия Сильвестра знакоопределенности квадратичных форм следует, чтобы тензор был положительно определенным, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры матрицы компонент тензора были положительны. Спектральное разложение для положительно определенного тензора имеет вид:

,

где все . Для таких тензоров можно определить понятие корня.

Определение. Положительно определенным квадратным корнем из положительно определенного тензора называется тензор, имеющий спектральное разложение

Тензор определен однозначно.

Теорема (О полярном разложении). Любой неособенный тензор второго ранга единственным способом представим в виде произведения положительно определенного тензора и ортогонального тензора:

, (37)

где - симметричные положительно определенные тензоры, - ортогональный тензор.

Доказательство. Возьмем . Тогда . Тензор - симметричный, так как . Тензор - положительно определенный, поскольку для всякого ненулевого вектора выполняется условие . Равенство недопустимо. Его выполнение означало бы, что - собственный вектор , отвечающий нулевому собственному значению. Но последнее невозможно, так как - неособенный: . Итак, по определен положительно определенный квадратный корень . Тензор - невырожденный, поэтому определен обратный тензор . Пусть . Покажем, что этот тензор - ортогональный:

.

Представление тензора в виде произведения положительно определенного и ортогонального тензоров доказано. Осталось доказать единственность этого представления. Пусть - другое представление. Так как и , то . Корень определяется однозначно, т. е.,

. Следовательно, .

Если повторить все рассуждения применительно к тензору , то получим другое полярное разложение: , где . Отсюда можно получить, принимая , что . Собственные значения тензоров и совпадают. Однако главные оси - другие, они получены поворотом с помощью тензора главных осей тензора .

Задачи

1. При каких значениях параметра тензор , определенный матрицей

,

является положительно определенным. Найти положительно определенный корень .

2. Найти полярное разложение транспонированного тензора , если известно полярное разложение самого тензора .

§9. Представление тензора суммой шарового тензора и девиатора

Рассмотрим произвольный симметричный тензор (если - антисимметричный, то последующие построения теряют смысл, так как ). По этому тензору найдем его шаровую часть: .

Определение. Отклонение тензора от его шаровой части называется девиатором:

(38)

Тензор - сумма его шаровой части и девиатора: .

Пусть - собственные значения тензора , - соответствующие собственные векторы. Запишем условие для собственного вектора, например, . Заменяя суммой шарового тензора и девиатора, получим

.

Отсюда видим, собственный вектор тензора является также собственным вектором девиатора. Соответствующие собственные числа девиатора выражаются через собственные значения тензора по формулам: