Введение (стр. 14 )

Итак, диагональные компоненты меры в ортонормированном базисе характеризуют удлинения волокон, направленных вдоль базисных векторов . Недиагональные компоненты характеризуют искажения прямых углов. Изменения углов между материальными волокнами называют сдвигами.

Деформацию среды можно изучать и с помощью другого тензора - тензора конечной деформации:

(73)

Этот тензор характеризует чистую деформацию: если устранить деформацию, то примет нулевое значение. Тензор деформации формулируют через вектор перемещения :

Рассмотрим случай малых перемещений: . Это условие выполняется для большинства конструкционных материалов. Все компоненты тензора существенно меньше единицы, малыми величинами второго порядка и выше пренебрегаем. В этом случае тензор конечной деформации заменяется линейным тензором деформации:

(74)

Первый инвариант этого тензора равен . Эта величина в первом приближении характеризует объемное расширение. Матрица компонент линейного тензора деформации имеет вид:

.

Выражения элементов матрицы определяются частными производными компонент вектора перемещения по материальным координатам, в качестве которых выбраны декартовы координаты точки среды в начальном состоянии среды:

, , , ,

, .

Вместе с линейным тензором деформации рассматривают антисимметричный тензор - линейный тензор поворота:

.

Ненулевые компоненты тензора выражаются через координаты вектора поворота - вектора, сопутствующего :

.

Компоненты вектора поворота равны:

.

Дифференциал вектора перемещения с помощью введенных величин определяется соотношением: .

Первое слагаемое в правой части последнего равенства выражает перемещение точек малой окрестности, определяемое тензором деформации , а второе слагаемое – перемещение окрестности, обусловленное поворотом как жесткого твердого тела.

Задачи

1. Для поля перемещений при ограничениях, принятых в теории малых деформаций, определить тензор линейной деформации, тензор линейного поворота и вектор поворота в точке .

2. Формулами определяется аффинное преобразование. Показать, что при таком преобразовании прямая остается прямой, отрезок прямой, поворачиваясь, меняет свою длину, прямоугольник переходит в параллелограмм, окружность – в эллипс.

3. Частный случай плоского аффинного преобразования – простой сдвиг, задается формулами: , где - постоянная сдвига. Найти главные значения и главные направления меры деформации Коши-Грина.

4. Поле перемещений задается формулами: , ,. Найти тензор конечной деформации и его спектральное разложение.

5. Для поля перемещений из предыдущего задания определить, воспользовавшись полярным разложением, тензор поворота и правый тензор коэффициентов длины .

6. В некоторой точке тензор деформации задан матрицей

.

Определить относительное удлинение в направлении вектора и изменение угла между направлениями и .

7. В предыдущем задании направления и - главные. Как выглядит матрица тензора деформации в главных осях?

8. Найти главные инварианты тензора деформации задачи 6.

9. Для тензора деформации задачи 6 определить девиатор и вычислить его главные значения.

16. Силы и напряжения

Рассмотрим материальное тело в деформированном (конечном) состоянии в момент времени . Мысленно выделим в теле произвольную часть (подтело). На эту часть действует некоторая сила , распределенная по всей массе, и сила , распределенная по поверхности подтела . Сила называется массовой силой. Примером таких сил является, например, сила гравитации. Вектор - контактная сила, она обусловлена воздействием на подтело оставшейся части тела . Введем в рассмотрение гипотезу – массовые и контактные силы являются абсолютно непрерывными функциями объема и поверхности. Тем самым можно ввести плотности этих сил:

, .

Здесь - область, занимаемая подтелом, - дифференциал объема, элемент объема среды, в конечном (деформированном) состоянии. Вектор - объемная сила, отнесенная к единице массы среды. Т. е., величина - сила, действующая на элементарную массу , заключенную в элементарном объеме . Величина - поверхностная (контактная) сила, приходящая на единицу площади поверхности , ограничивающей подтело . Вектор называется в механике сплошных сред вектором напряжений. Его размерность . Понятие напряжения – одно из самых важных в механике деформируемых тел. Примем постулат: вектор напряжений в данной точке тела имеет одно и то же значение для всех частей тела, имеющих в этой точке общую касательную плоскость и лежащих по одну сторону от касательной плоскости: