Введение (стр. 12 )

Теорема Гаусса-Остроградского справедлива не только для векторных полей, но и для тензорных полей более высокого ранга, лишь бы они были достаточно гладкими:

(52)

В этой формуле - тензор произвольного ранга , - дифференциал объема.

Замечание. Формула (52) сформулирована для дивергенции поля. Однако, ее можно формулировать и для градиента и для ротора поля. Пусть - тензорное произведение тензоров второго ранга, где - единичный тензор. - тензор 4-го ранга. Учитывая, что , а также , из равенства (52) получаем формулу для градиента:

(53)

Если принять , то из (52) получается формула для ротора тензорного поля второго ранга:

(54)

Задачи

1. Доказать, что поток радиус-вектора через любую замкнутую поверхность равен утроенному объему тела, ограниченного этой поверхностью.

2. Найти поток радиус-вектора через внешнюю сторону боковой поверхности прямого кругового цилиндра высотой , если центр нижнего основания совпадает с началом координат, - ось цилиндра, - радиус основания.

3. Найти поток векторного поля через наклонную грань пирамиды, образованной пересечением координатных плоскостей и плоскости , в направлении внешней нормали.

4. Найти поток вектора через боковую поверхность конуса .

§13. Теорема Стокса

Пусть задано векторное поле и кусочно-гладкая кривая , на которой выбрано направление обхода.

Определение. Линейным интегралом от вектора , взятым вдоль ориентированной кривой , называется криволинейный интеграл по длине дуги кривой от скалярного произведения , где - орт вектора, касательного к кривой в рассматриваемой точке. Обозначается этот интеграл следующим образом

Например, если - силовое векторное поле, то линейный интеграл представляет работу вдоль кривой .

Определение. Линейный интеграл вдоль замкнутой кривой называется циркуляцией.

Циркуляцию поля принято обозначать выражениями

.

Рассмотрим некоторую незамкнутую поверхность , опирающуюся на замкнутый простой (без точек самопересечения) контур . Пусть координаты вектора непрерывны вместе с частными производными. Тогда циркуляция вектора по замкнутому контуру равна потоку ротора этого вектора через любую поверхность , натянутую на контур :

(55)

Формула (55) выражает теорему Стокса. В этом равенстве предполагается, что ориентация нормали согласована с ориентацией контура: при наблюдении с конца нормали обход контура совершается против хода часовой стрелки. Используя символический вектор набла-оператор (47), формулу вычисления смешанного произведения, теорему Стокса можно выразить в координатной форме:

Так как справедливы равенства:

,

то в правой части формулы Стокса можно перейти от поверхностного интеграла первого рода к поверхностному интегралу второго рода:

Доказательство формулы Стокса, как и формулы Гаусса-Остроградского можно найти в курсе математического анализа.

Замечание. Помимо фундаментальных тождеств (48), (49), теоремы Гаусса-Остроградского (51) и теоремы Стокса (55) в векторном анализе полезными являются формулы:

(56)

(57)

(58)

(59)

(60)

(61)

Из формулы (56) видно, что оператор действует на произведение функций как обычный оператор дифференцирования.
Задачи

1. Найти циркуляцию вектора по окружности в положительном направлении.

2. Применяя формулу Стокса, найти циркуляцию векторного поля по контуру треугольника , где , , .

3. Найти циркуляцию вектора по эллипсу .

§14. Градиент деформации

Пусть материальное тело, имеющее объем , под воздействием внешних причин принимает состояние, занимающее объем . Первое состояние назовем начальным (отсчетным), второе – актуальным (деформированным). Введем декартову прямоугольную систему координат . Положение некоторой точки в начальном состоянии зададим радиус-вектором . После деформации эта точка в - объеме займет положение , которое в этой же системе координат определяется радиус-вектором . - декартовы координаты рассматриваемой точки в начальном состоянии, - декартовы координаты этой точки в - объеме. За перемещение точки отвечает вектор