Введение (стр. 6 )

В общем случае тензор второго ранга задается девятью компонентами. Если же тензор симметричный, то для его задания достаточно шести компонент, а для антисимметричного – трех.

Пусть - симметричный тензор, тогда его матрица совпадает с транспонированной матрицей:

Независимыми являются компоненты , так как .

Если - антисимметричный тензор, то для его компонент получим равенства:

Пусть , тогда . Аналогично, . Недиагональные компоненты тензора обозначим соответственно . Ясно, что .

Матрица антисимметричного тензора имеет вид:

.

Введем в рассмотрение сопутствующий вектор . С его помощью антисимметричный тензор можно выразить при помощи косого умножения:

(26)

В самом деле, . Отсюда получим выражение компоненты тензора: . Если , то . Учитывая, что , например, для индексов получим .

Определение. Детерминантом тензора называется определитель матрицы его компонент.

Ниже увидим, что определение корректно, так как детерминант тензора в любом базисе одно и то же число. Обозначается детерминант тензора символом . Если , то для тензора существует единственный тензор , называемый обратным, определяемый равенствами

Определение. Тензор , обладающий свойством , называется ортогональным.

Легко видеть, что для ортогонального тензора выполняются равенства:

.

Ортогональный тензор сохраняет скалярное произведение двух векторов.

Если для ортогонального тензора детерминант равен единице (), то тензор называется собственно ортогональным. Например, - собственно ортогональный тензор, так как выполнены условия:

,

.

Этот тензор осуществляет поворот векторов на угол вокруг оси :

.

Несобственно-ортогональный тензор – ортогональный тензор с отрицательным детерминантом . Он осуществляет поворот и зеркальное отражение.

Задачи

Векторы , и тензоры определены условиями предыдущего раздела. Величины - произвольные векторы, - произвольные тензоры второго ранга.

1. Найти симметричную и антисимметричную часть каждого из тензоров: и диады .

2. Доказать, если тензоры оба симметричные, или оба антисимметричные, то тензор антисимметричный.

3. Доказать, если тензор - антисимметричный, а тензор - симметричный, то справедливы равенства:

.

4. Доказать, если тензор - антисимметричный, то . Можно ли утверждать обратное?

5. Пусть - антисимметричный, а тензор - симметричный тензор. Доказать, что

а) тензор - симметричный;

б) ; в) ; г) .

6. Для тензора найти сопутствующий вектор .

7. Для каждого из тензоров найти детерминант и обратный тензор.

8. Доказать формулы:

а) ; б) .

9. Найти тензор .

10. Доказать, что тензор, осуществляющий поворот всех векторов евклидова пространства вокруг координатной оси на угол против хода часовой стрелки собственно ортогональный.

11. Привести пример несобственно ортогонального тензора.

12. Доказать, что собственно ортогональный тензор правую тройку векторов переводит в правую, а несобственно ортогональный тензор меняет ориентацию триэдра на противоположную.

§6. Спектральное разложение тензора

Пусть - некоторый тензор второго ранга.

Определение. Ненулевой вектор называется собственным вектором тензора , если найдется такое число , что:

(27)

Это число называется соответствующим вектору собственным значением тензора .

Геометрический смысл собственного вектора в том, что его образ при линейном преобразовании, задаваемом тензором , коллинеарен прообразу. Совокупность всех собственных значений тензора называется его спектром. В компонентном виде условие (27) записывается следующим образом: . Или подробно