Введение (стр. 3 )

(10)

Здесь - координаты вектора угловой скорости , - момент инерции тела относительно координатной оси . В привычных обозначениях координатной прямоугольной системы - это величина:

Соответственно - моменты инерции относительно осей . (и другие величины с разными индексами) – это центробежный момент.

Соотношение (10) можно заменить формулой в операторном виде:

. (11)

Здесь введен тензор инерции тела . Тензор выражает присущее вращающемуся вокруг центра О телу физическое свойство – инертность при вращении. При помощи учитывается распределение массы относительно центра вращения. Кинетическая энергия вращающегося около центра О тела так же выражается при помощи тензора инерции тела:

(12)

2. Важную роль играют тензоры в физике твердого тела. Следствием кристаллической структуры твердых тел является их анизотропия (физические свойства зависят от направления). При феноменологическом подходе для описания электропроводности кристаллических твердых тел требуется тензор электропроводности кристалла . Пусть электрическое поле приложено к проводнику с кристаллической структурой. Особенностью кристаллического твердого тела является то, что ток плотности не коллинеарен вектору поля . Ток потечет не только вдоль , но и по двум перпендикулярным к направлениям. Если приложить электрическое поле по оси , то . Компоненты плотности тока определяются соотношениями:

(13)

где - продольная компонента тока, и - поперечные компоненты тока (при заданном векторе поля ). При произвольном направлении вектора поля вместо (13) нужны общие формулы:

(14)

Из (14) следует, что для описания электропроводности кристалла нужны 9 чисел – компонент тензора .

3. Электропроводностью далеко не исчерпывается перечень тензорных величин, применяемых в физике твердого тела. Большинство уравнений физики твердого тела из-за анизотропии кристаллов содержит тензорные величины. Так, при изучении диэлектриков необходим тензор диэлектрической проницаемости. В задачах теплопроводности в общем случае коэффициент теплопроводности – тензорная характеристика.

Задачи

1. Тензору электропроводности кристалла в системе координат отвечает матрица:

. Найти компоненты этого тензора в новой системе координат , повернутой относительно на угол:

а) вокруг оси ;

б) вокруг оси .

2. Рассмотрим упругий стержень с прямолинейной осью , левый конец которого заделан. Начало координатной системы в центре инерции правого сечения. Оси , - главные центральные оси инерции этого сечения. Если в точке приложить силу , то составляющие смещения этой точки определяются формулами:

. Этими формулами определен тензор податливости стержня в точке . Записать бескоординатное выражение вектора смещения и получить выражения его координат в повернутой на угол вокруг оси системе координат .

§4. Действия с тензорами

1. Линейные операции. Тензоры - элементы линейного пространства. Во всяком линейном пространстве определены операции сложения и умножения на число – линейные операции. Пусть в выбранном базисе тензоры и представлены своими компонентами: , . Тогда в этом же базисе тензор, являющийся линейной комбинацией и , компонентами имеет такие же линейные комбинации соответствующих компонент слагаемых тензоров:

.

Итак, при сложении тензоров складываем соответствующие компоненты, а при умножении тензора на число каждую компоненту надо умножить на это число.

2. Тензорное умножение. Эта операция определена для тензоров различного ранга и приводит к тензорам более высокого ранга – элементам линейного пространства, размерность которого равна сумме рангов тензоров-сомножителей.

Пусть - тензор 2-го ранга, - векторы (тензоры 1-го ранга). Тогда - тензор 2-го ранга, - тензор 3-го ранга, - тензор четвертого ранга.

3. Транспонирование. Это линейная функция, которая тензору ставит в соответствие тензор того же пространства. Операция транспонирования заключается в перестановке векторов диады местами:

.

Чтобы получить транспонированный тензор, в разложении тензора по полибазису необходимо изменить порядок векторов во всех диадах, задающих базис. Из формулы (8) следует, что матрица тензора - транспонированная матрица :