Введение (стр. 8 )

.

Если , , - декартовы прямоугольные координаты, то уравнение

определяет некоторую центральную поверхность второго порядка: эллипсоид, если собственные значения тензора одного знака и гиперболоид, если знаки собственных чисел различные. Геометрическая интерпретация тензора заключается в сопоставлении тензору соответствующей поверхности. Переход к главным осям означает задание поверхности каноническим уравнением. Если одно из собственных чисел кратное, то имеем поверхность вращения. Если собственное число тензора имеет кратность 3, то поверхность – сфера. Из этих соображений тензоры вида называют шаровыми.

Задачи

1. Найти собственные значения и соответствующие им единичные собственные векторы тензора, которому в базисе отвечает матрица:

а) ; б) ; в) ; г) .

2. Показать, что один из корней характеристического уравнения тензора равен нулю.

3. Указать главные инварианты тензора, заданного в некотором базисе матрицей:

а) ; б) ; в) г) .

4. Показать, что детерминант антисимметричного тензора равен нулю.

5. Доказать, что ортогональный тензор сохраняет скалярное произведение векторов: .

6. Показать, что собственные значения ортогонального тензора по модулю равны 1.

7. Тензор - ортогональный. Доказать, что .

8. Доказать, что для любого тензора второго ранга справедлива формула .

9. Доказать формулы (33) представления главных инвариантов тензора через собственные числа.

10. Найти главные инварианты диады .

§7. Теорема Гамильтона-Кэли

При простом перемножении тензоров второго ранга получаются тензоры также второго ранга. Поэтому можно рассмотреть натуральные степени тензора , а если - обратимый тензор, то определены любые целые степени: , и т. д. Известно, если линейный оператор имеет ненулевое собственное число , которому отвечает собственный вектор , то оператор имеет собственное значение с тем же самым собственным вектором . Действиям над тензором отвечает действия над собственными числами. Ясно, во многом набор собственных чисел (спектр) характеризует сам тензор. Оказывается, любую целую степень обратимого тензора можно выразить через три какие-нибудь последовательные степени . Если тензор необратим, то сказанное относится только к натуральным степеням . Этот результат следует из следующей теоремы.

Теорема Гамильтона-Кэли. Любой тензор второго ранга удовлетворяет своему характеристическому уравнению:

(35)

Доказательство. Рассмотрим присоединенный к тензору тензор :

.

Ясно, компоненты тензора - многочлены по степени не выше второй. (Компонентами тензора являются алгебраические дополнения матрицы). Поэтому можно представить в виде:

.

Подставляя это выражение в предыдущее соотношение, раскрывая скобки и сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , получим равенства:

Умножим слева обе части первого равенства на , второго – на , третьего - на , последнего - на . Складывая после этого все равенства, получим в левой части тождественный нуль:

.

В правой части получаем . Итак, Или , что и требовалось.

С помощью формулы (35) любую целую положительную степень тензора можно выразить в виде квадратного трехчлена с коэффициентами, являющимися полиномами от главных инвариантов. Например, для тензора имеем следующие соотношения:

, откуда . Подставляя далее выражение , получим . Если , то с помощью формулы Гамильтона-Кэли легко записать выражение обратного тензора , а, следовательно, любую целую отрицательную степень:

,

где - дробно-рациональные функции переменных .

Задачи

1. Воспользовавшись формулой Гамильтона-Кэли, определить обратный тензор и четвертую степень , если тензору отвечает матрица, указанная в заданиях 3а, 3б, 3г предыдущего раздела. Для тензора результат проверить непосредственным умножением тензора самого на себя.

2. Проверить формулу (35) Гамильтона-Кэли для симметричного тензора , используя спектральные разложения тензоров и выражения (33) главных инвариантов тензора .