Введение (стр. 2 )

Задачи

1. Выписать нижеследующие выражения в полной развернутой форме (все индексы принимают значения 1, 2, 3):

а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ; ж).

2. Записать, применяя соглашение о суммировании, следующие выражения:

а) формулу элемента матрицы через элементы матриц-сомножителей;

б) формулу длины вектора;

в) формулу вычисления скалярного произведения двух векторов в координатах;

г) условие ортогональности двух векторов.

3. Пусть - матрица перехода при повороте координатных осей. Доказать, что

а) . Показать, что этому условию равносильны 6 уравнений, связывающие направляющие косинусы, выписать эти уравнения;

б) .

4. Используя символы Леви-Чивита , записать в индексном виде смешанное произведение трех векторов .

5. Доказать формулу двойного векторного произведения:

§2. Другой подход в определении тензора второго ранга

В курсе линейной алгебры изучаются линейные преобразования векторных пространств (линейные операторы). Линейный оператор – это линейная функция, которая вектор линейного пространства переводит в вектор того же линейного пространства: .

Для задания линейного оператора нужно знать, как он преобразует базисные векторы:

.

Здесь - матрица линейного преобразования. Коэффициенты в разложении образа - столбцы этой матрицы. Известно, при переходе к новому базису матрица линейного оператора подобна : . Учитывая единственность представления в выбранном базисе оператора матрицей, из (7) заключаем, что тензор второго ранга можно определить как линейный оператор. Тензор второго ранга - это линейный оператор, который всякий вектор трехмерного евклидова пространства переводит в некоторый вектор того же пространства.

Возьмем два вектора . С помощью этих векторов определим функцию , которая всякий вектор переводит в вектор :. Легко проверить, что эта функция – линейная:

Итак, - линейный оператор, причем он задается величиной , называемой тензорным произведением векторов и (диадой). Диаду также обозначают символом . Диады, составленные из различных векторов трехмерного евклидова пространства - тензоры второго ранга. Они образуют подмножество в 9-мерном векторном пространстве тензоров второго ранга (если ввести соответствующим образом действия с тензорами, то указанное множество линейных операторов само образует линейное пространство). Это подмножество содержит, в частности, такие 9 диад:

.

Можно показать, что в пространстве тензоров эти элементы линейно независимы и, следовательно, образуют базис этого пространства. Следовательно, всякий тензор второго ранга можно представить в виде разложения:

Или сокращенно:

(8)

Коэффициенты в представлении тензора в виде разложения по базису (полибазису) называются компонентами тензора.

Определение. Тензор, определяемый тождественным отображением, называется единичным тензором:

(9)

Всякий вектор тензор переводит в тот же вектор:

.

Аналогично проверяется, что .

Здесь - символ Кронекера. Символы Кронекера – компоненты единичного тензора:

Замечание 1. Пусть в выбранном базисе . Тогда диаде соответствует матрица:

.

Можно видеть, что определение тензора-диады согласовано с определением тензора через матрицы:

,

.

Замечание 2. Диаде соответствует матрица с единственным ненулевым элементом 1 в s-ой строке и k-ом столбце. Например, для диады матрица имеет вид:

.

Задачи

1. Показать, что оператор поворота всех векторов евклидова трехмерного пространства вокруг оси на угол против хода часовой стрелки – линейный. Найти матрицу, отвечающую этому преобразованию.

2. Пусть преобразование переводит вектор в симметричный относительно координатной плоскости вектор. Показать линейность и найти его матрицу.

3. Доказать формулу представления единичного тензора:

.

4. Показать, если один из сомножителей в диаде нуль-вектор, то диада является нуль-тензором.

5. Пусть , . Найти компоненты диад и .

§3. Примеры тензоров второго ранга

1. Рассмотрим вращение твердого тела вокруг центра О. При изучении вращательного эффекта, важна не только величина и направление угловой скорости, но распределение массы по телу относительно центра. Пусть - момент количества движения этого вращающего тела, тогда координаты момента определяются соотношениями: