Введение (стр. 15 )

(75)

Здесь - радиус-вектор, задающий точку в конечном состоянии, - единичный вектор внешней нормали к ограничивающей подтело поверхности . Вектор напряжений зависит от точки, вектора нормали, момента времени, но не зависит от формы поверхности. Оказывается, рассматривая данную точку в данный момент времени, можно установить, что связь между векторами и линейная. Линейная зависимость между векторами означает, необходимо ввести в рассмотрение тензор второго ранга – тензор напряжения. Данный тензор является физическим объектом, характеризующим напряженное состояние среды на площадке с определенной нормалью.

Обобщая на случай деформируемых сред, будем использовать известные в курсе теоретической механики теоремы об изменении количества движения и изменении момента количества движения. Эти теоремы в механике сплошных сред называются динамическими законами Эйлера. По определению количеством движения подтела называется вектор , а моментом количества движения – вектор , где - вектор скорости точки, положение которой после деформации задается радиус-вектором : . Вектор - центр, относительно которого вычисляется момент. Первый закон Эйлера – условие баланса количества движения:

(76)

Первое слагаемое справа выражает главный вектор массовых сил, второе – главный вектор поверхностных сил. Второй закон Эйлера – условие баланса момента количества движения:

(77)

В этом уравнении первое слагаемое правой части – главный момент относительно центра всех массовых сил, а второе слагаемое – вектор главного момента поверхностных сил.

Фундаментальная теорема Коши. В каждой точке материального тела существует тензор второго ранга такой, что для любой площадки с единичной нормалью вектор напряжения на этой площадке равен:

(78)

Доказательство. Покажем, вначале, что справедлив принцип равенства действия и противодействия:

(79)

Рассмотрим произвольно подтело , содержащее точку с радиус-вектором и поверхность , проходящую через эту точку. Эта поверхность разобьет подтело на две части с объемами , ограниченными помимо поверхностями . Применяя первый закон Эйлера ко всему подтелу и к каждой из выделенных частей, а также учитывая свойство аддитивности количества движения, имеем

Здесь , - вектор единичной внешней нормали к , ограничивающей соответственно первую и вторую часть подтела. Отсюда, учитывая свойство аддитивности интегралов, получаем

.

В силу произвольности и так как окончательно получаем (79).

Докажем далее справедливость теоремы Коши для прямоугольного параллелепипеда, грани которого параллельны координатным плоскостям (рис.1).

На каждой из граней нормаль определяется одним из равенств: , где .

Рис.1 Учитывая (79), вектор напряжения на каждой из граней можно представить в виде разложения по базису: . Далее поясняющие обозначения, подчеркивающие зависимость от и , будем опускать. Коэффициенты - координаты вектора напряжения на грани с нормалью . Поскольку координата вектора нормали равна

,

то представление вектора напряжения можно записать в виде двойной суммы (добавлено суммирование по индексу ):

(80)

Из (80) следует, на гранях параллелепипеда вектор напряжения зависит от нормали линейно, величина - некоторый тензор второго ранга. Итак, для площадок, параллельных координатным плоскостям (78) выполнено.

Применим первый закон Эйлера к выделенному параллелепипеду, получим с учетом (80)

.

Привлекая закон сохранения массы: , левую часть предыдущего равенства можно переписать в виде интеграла , где точка сверху означает дифференцирование по времени: . Поверхностный интеграл в правой части преобразуем с помощью формулы Остроградского (51) в объемный. Учитывая эти замечания, получаем равенство

.

Отсюда в силу произвольности параллелепипеда имеем формулу:

(81)

Рассмотрим подтело в форме тетраэдра , ребра которого , , направлены вдоль координатных осей. Наклонная площадка - произвольная. Применяя первый закон Эйлера, в этом

случае имеем:

,

Рис. 2

Здесь - остальные грани, кроме наклонной. На этих гранях известно представление вектора напряжений (формулы (80)). Учитывая это представление и закон равновесия (81), последнее равенство можно переписать в виде:

.

Применяя теорему Остроградского в обратном порядке, заменим в левой части объемный интеграл поверхностным, получим с учетом свойства аддитивности интеграла:

Или . Отсюда в силу произвольности площадки имеем линейную зависимость вектора напряжения от вектора нормали и на наклонной площадке: . Это означает, существует тензор второго ранга такой, что

(82)

Теорема доказана полностью.

Соотношение (82) выражает фундаментальную теорему Коши, тензор называется тензором напряжений Коши. Из (82) следует, зная тензор напряжений Коши , можно вычислить вектор напряжения (напряжение) на любой площадке. Условие (81) – уравнение движения среды, в инвариантной форме это соотношение можно записать в виде:

Рассматривая второй закон Эйлера (77) (закон баланса момента импульса), можно доказать симметричность тензора напряжений:

(83)

Учитывая симметричность , фундаментальную формулу (82) можно переписать в виде:

Представим вектор напряжения суммой нормальной и касательной составляющих: (рис.3). Касательное напряжение – составляющая в касательной плоскости, нормальное напряжение – проекция вектора напряжения на нормаль. Если вектор напряжения составляет с нормалью острый угол, величина нормального напряжения . Пусть векторы ортонормированного базиса, связанного с прямоугольной декартовой системой координат, введены в диадное представление тензора напряжений: (рис.4). Выясним физический смысл компонент тензора напряжений, рассматривая однородное напряженное состояние: . Полагая из (82) получаем .

Рис. 3 Рис. 4

Видим, первый индекс компоненты тензора напряжений показывает номер площадки (нормаль), а второй – направление оси, вдоль которой действует составляющая вектора напряжения. Компоненты - нормальные напряжения, () – касательные напряжения.

Далее рассмотрение ограничим плоским случаем. На рисунке рис.5 показаны положительные направления нормальных и касательных напряжений. В частности, если рассмотреть деформацию чистого сдвига, которая характеризуется отсутствием нормальных напряжений, то условие равенства момента всех сил, действующих на этот элемент, приводит к известному соотношению: .

Рис. 5

Это равенство выражает закон парности касательных напряжений.

Замечание о главных напряжениях. Как для всякого симметричного тензора, для тензора напряжений Коши справедлива теорема о спектральном разложении: . Здесь - собственные векторы тензора , - соответствующие собственные числа, называемые главными напряжениями. Площадки, ортогональные векторам , называются главными площадками. На этих площадках вектор напряжения направлен по нормали, а касательных напряжений нет: . Рассматривая в выбранной точке площадки всевозможных направлений, можно доказать, что площадки, на которых нормальные напряжения достигают экстремальные значения, совпадают с главными площадками. Причем, экстремальные значения напряжений и есть главные напряжения.

Задачи

1. Напряженное состояние в некоторой точке задано в декартовой прямоугольной системе координат тензором , матрица компонент которого имеет вид

.

Определить величину вектора напряжения на площадке с нормалью .

2. В точке тензор напряжений задан матрицей:

.

Определить вектор напряжения в точке на площадке, параллельной плоскости . Найти нормальную и касательную компоненты напряжения на этой площадке.

3. Определить главные напряжения и главные оси тензора напряжений .

4. При деформации чистого сдвига тензор напряжений задается матрицей

.

Определить диагональную форму тензора и девиатор напряжений.

4. Разложить тензор напряжений , заданный матрицей

,

на шаровую часть и девиатор. Найти главные значения девиатора напряжений.

5. Используя метод множителей Лагранжа, показать, что экстремальные значения нормального напряжения совпадают с главными напряжениями.

6. Поле напряжений в сплошной среде задано тензором напряжений с матрицей . Определить: а) распределение массовых сил, если уравнения равновесия удовлетворены повсюду; б) величины главных напряжений в точке .

ЛИТЕРАТУРА

1.  Лурье упругости. М.: Наука, 1970.

2.  , Карякин исчисление. Основы теории. М.: Вузовская книга, 2006.

3.  Мейз Дж. Теория и задачи механики сплошных сред. М.: Мир,1974.

4.  , Ипатова тензоров и матриц в физике твердого тела. Учебное пособие. Ленинград: Изд-во ЛПИ, 1979.

5.  Головина алгебра и некоторые ее приложения. М.: Наука, 1975.

6.  Берман задач по курсу математического анализа. М.: Наука, 1985.

7.  , Никольский математика. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. М.: Наука, 1989.

Оглавление

Введение

§ 1. Понятие тензора

§ 2. Другой подход в определении тензора второго ранга

§ 3. Примеры тензоров второго ранга

§ 4. Действия с тензорами

§ 5. Теорема о линейной тензорной функции

§ 6. Спектральное разложение тензора

§ 7. Теорема Гамильтона-Кэли

§ 8. Полярное разложение тензора

§ 9. Представление тензора суммой шарового тензора и девиатора

§ 10. Тензорные поля

§ 11. Дивергенция и ротор векторного поля

§ 12. Формула Гаусса-Остроградского

§ 13. Теорема Стокса

§ 14. Градиент деформации

§ 15. Мера и тензор конечной деформации

§ 16. Силы и напряжения

Литература