Варианты домашнего задания по аналитической геометрии и векторной алгебре (стр. 10 )

Решение: а)

Это каноническое уравнение параболы с вершиной и ветвями вниз, так как в этом уравнении .См. рис. 3:

Рис. 3

б)

Это каноническое уравнение гиперболы с вершиной и полуосями . Это равнобочная гипербола с классическим расположением ветвей вправо и влево (Рис.4):

Рис. 4

в)

Это каноническое уравнение эллипса с центром и полуосями . На рисунке 5 построен полученный эллипс:

Рис. 5

3.  Составить уравнение параболы, если известны уравнение ее директрисы и фокус

Решение: Расстояние между фокусом и директрисой равно 10, поэтому Используем определение параболы, из которого следует, что вершина параболы лежит посередине между фокусом и директрисой. (Рис. 6).

Рис. 6.

Через фокус перпендикулярно директрисе проходит ось – это и есть ось симметрии параболы. На ней же лежит вершина на расстоянии, равном 5 от фокуса и директрисы. Поэтому Ветви параболы направлены туда же, где фокус, то есть вверх. Итак, уравнение параболы со смещенной вершиной ветвями вверх:

4.  Найти уравнение прямой, проходящей через фокус параболы параллельно асимптоте гиперболы которая проходит через вторую и четвертую четверти.

Решение: Приведем уравнение параболы к каноническому виду, чтобы найти фокус:

У этой параболы вершина находится в точке и ветви направлены вверх, так как Исходя из канонического уравнения параболы получаем (Рис. 7)

Рис. 7

Чтобы найти фокус, надо отложить расстояние от вершины вверх, поэтому Разберемся с гиперболой: Это каноническое уравнение гиперболы с центром и ветвями вверх и вниз. Имеем Поэтому асимптоты гиперболы имеют уравнения или Мы выбираем асимптоту с отрицательным угловым коэффициентом, так как асимптота проходит через вторую и четвертую четверти: Искомая прямая параллельна асимптоте, поэтому у нее такой же угловой коэффициент Пишем уравнение искомой прямой, проходящей через и с угловым коэффициентом

5.  Найти скалярное и векторное произведения векторов. Координаты точек заданы в декартовой системе координат.

Решение: Найдем координаты векторов и :

Скалярное произведение найдем, используя координаты векторов по формуле

Векторное произведение через координаты вычисляем по формуле:

6.  Являются ли прямые параллельными

и ?

Решение: По условию задачи прямая задана своим каноническим уравнением: . Из него находим координаты направляющего вектора: Прямая по условию задана как линия пересечения двух плоскостей: .

Найдем ее направляющий вектор. Из уравнения первой плоскости известна нормаль (числовые коэффициенты перед переменными ). Для второй плоскости нормаль к ней Найдем вектор как векторное произведение этих нормалей, так как :

.

Параллельность прямых и означает параллельность этих направляющих векторов и Условие параллельности векторов приводит к пропорциональности их координат:

Это равенство заканчивает требуемое доказательство.

7.  Написать уравнение плоскости, перпендикулярной прямой и имеющей с ней общую точку с абсциссой 2.

Решение: Сделаем рисунок 8 к задаче:

Рис.8

Искомая плоскость должна проходить через точку с абсциссой 2: Эта же точка лежит на прямой , поэтому ее координаты удовлетворяют уравнению этой прямой:

Из канонического уравнения прямой мы знаем ее направляющий вектор (числа в знаменателе). Этот же вектор перпендикулярен к искомой плоскости и поэтому является нормалью к ней: