Варианты домашнего задания по аналитической геометрии и векторной алгебре (стр. 11 )

Напишем уравнение плоскости с данной нормалью и проходящей через данную точку :

Решение типичного варианта “Б”

1. В треугольнике задано уравнение стороны : и уравнения двух высот : и :. Найти уравнения двух других сторон.

Решение: См. рис 9.

Рис.9

Найдем координаты точки : . Решим систему

Аналогично найдем координаты точки : .

Т. к. является высотой, то , следовательно, угловой коэффициент прямой : .

Найдем . Из уравнения прямой имеем: , следовательно, , значит, .

Уравнение прямой, проходящей через точку с угловым коэффициентом имеет вид .

Нам известна точка и угловой коэффициент стороны . Напишем ее уравнение: . Получим Угловой коэффициент стороны :

т. к..

Из уравнения прямой получаем . Следовательно .

Зная координаты точки и угловой коэффициент, напишем уравнение стороны .

Ответ: ,

2. Привести к каноническому виду и построить:

а)

б)

в)

Решение:

а)

Это уравнение параболы с центром в точке и ветвями, направленными вправо. См. рис 10.:

Рис.10

б)

Это уравнение эллипса с центром в точке . См. рис 11.

Рис.11

в)

Это уравнение гиперболы с центром в точке. См. рис 12.

Рис.12

3. Найти каноническое уравнение эллипса, проходящего через точку , если один из его фокусов находится в точке .

Решение:

Каноническое уравнение эллипса имеет вид: .

Точка удовлетворяет этому уравнению, значит ;

. Точка является фокусом эллипса (левым), значит . Для эллипса имеем : .Искомое уравнение: .

Ответ: .

4. Написать уравнение прямой, проходящей через правый фокус гиперболы и параллельной прямой, соединяющей верхнюю вершину эллипса и центр окружности .

Решение:

Правый фокус гиперболы находится в точке .

Для гиперболы . Из уравнения гиперболы имеем: , . Значит, следовательно , и правый фокус гиперболы находится в точке .

Верхняя вершина эллипса в точке . В нашем случае для эллипса , значит .

Найдем центр окружности .

;

. Значит, центр окружности находится в точке . Искомая прямая параллельна прямой , следовательно, их угловые коэффициенты равны. .

Уравнение искомой прямой имеет вид: . Подставим координаты точки и :

; .

Ответ: .

5. Найти скалярное и векторное произведения векторов. Координаты точек заданы в декартовой системе координат.

Решение:

.

.

6. Написать уравнение плоскости, перпендикулярной плоскостям и и проходящей через начало координат.

Решение:

Координаты векторов нормали к данным плоскостям следующие: . Вектор нормали к искомой плоскости перпендикулярен векторам и . Значит, в качестве вектора нормали к искомой плоскости можно взять векторное произведение векторов и :

. Уравнение плоскости, проходящей через начало координат имеет вид: , где .

Уравнение искомой плоскости: .

Ответ: .

7. Написать уравнение прямой, параллельной прямой

и пересекающей плоскость в той же точке, что и ось .

Решение:

Из параметрических уравнений данной прямой очевидно, что ее направляющий вектор равен .

Искомая прямая параллельна данной прямой, следовательно, в качестве ее направляющего вектора можно взять вектор . Найдем точку пересечения оси и плоскости , для этого решим систему , получим точку .

Запишем уравнение прямой: ; .

Ответ: .

Список литературы:

1. Краткий курс аналитической геометрии. М.:Наука, 1975.

2. Аналитическая геометрия. М.: Физматгиз, 1960.

3. Сборник задач по аналитической геометрии. М.: Наука, 1969.

4. Сборник задач по высшей математике. М.: Наука, 1987.

5. и Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1968.

6. Литлвуд Дж. Математическая смесь. М.: Наука, 1990.