Варианты домашнего задания по аналитической геометрии и векторной алгебре (стр. 9 )

6. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки

7. Написать уравнение линии пересечения двух плоскостей

в параметрическом виде.

ВАРИАНТ 35

1. Дана прямая . Найти прямую, параллельную данной и удаленную от на нее на расстояние, равное .

2. Привести к каноническому виду и построить:

а)

б)

в)

3. Написать каноническое уравнение параболы, фокус которой совпадает с центром окружности .

4. Найти уравнение прямой, проходящей через левый фокус гиперболы перпендикулярно прямой .

5. Найти скалярное и векторное произведения векторов. Координаты точек заданы в декартовой системе координат.

6. Дана плоскость и точка вне этой плоскости. Найти точку , симметричную точке относительно данной плоскости.

7. Написать уравнение прямой, параллельной прямой

и пересекающей плоскость в той же точке, что и ось .

ВАРИАНТ 36

1. Через точку провести прямую, расстояния которой до точек и были бы одинаковы.

2. Привести к каноническому виду и построить:

а)

б)

в)

3. Написать уравнение параболы с директрисой , фокус которой находится в точке .

4. Написать уравнение прямой, проходящей через верхнюю вершину эллипса , перпендикулярно прямой, проходящей через фокус параболы и центр окружности .

5. Найти скалярное и векторное произведения векторов. Координаты точек заданы в декартовой системе координат.

6. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно прямой .

7. Написать уравнение линии пересечения двух плоскостей в параметрическом виде.

РЕШЕНИЕ ТИПИЧНОГО ВАРИАНТА “A”

1. Даны вершины ромба и и уравнение одной диагонали . Найти уравнения сторон ромба.

Решение: Сначала сделаем рисунок ( рис.1):

Рис. 1

Проверим, какая из точек или лежит на данной диагонали. Для этого подставим их координаты в уравнение этой диагонали: для точки уравнение выполняется, а для точки уравнение не выполняется. Следовательно, в условии дано уравнение диагонали : . Угловой коэффициент прямой (число в этом уравнении перед ). Известно, что в ромбе диагонали взаимно перпендикулярны. По условию перпендикулярности прямых .

Мы можем написать уравнение диагонали , проходящей через данную точку и с данным угловым коэффициентом:

Найдем точку пересечения диагоналей и из системы уравнений этих диагоналей:

.

Из формул для середины отрезка получим . Напишем уравнение стороны , используя уравнение прямой, проходящей через две данные точки:

Получили уравнение стороны с угловым коэффициентом . Стороны и параллельны. По условию параллельности прямых . Поэтому можно написать уравнение стороны :

Напишем уравнение стороны :

Так как стороны и параллельны имеем .

В заключении пишем уравнение стороны :

.

Для самопроверки можно построить полученные прямые и убедиться, что действительно получится ромб (Рис.2):

Рис.2

2. Привести уравнение к каноническому виду и построить кривую:

а)

б)

в)