Математическое и имитационное моделирование экономических процессов в Mathcad (стр. 13 )

	Коэффициенты прямых затрат	Конечная продукция
Отрасль	1	2	3
1 50 2 25	0.9	0.3	0.1 60 40 25	20 3525 35
2	0.5	0.4	0.2	30
3	0.1	0.7	0.6	30
L	500	200	200
Ф	300	800	400

Вариант 14.

	Коэффициенты прямых затрат	Конечная продукция
Отрасль	1	2	3
1 50 2 25	0.4	0.6	0.8 60 40 25	50 3525 35
2	0.5	0.6	0.2	70
3	0.5	0.3	0.7	30
L	100	300	250
Ф	400	500	300

Вариант 15.

	Коэффициенты прямых затрат	Конечная продукция
Отрасль	1	2	3
1 50 2 25	0.1	0.2	0.3 60 40 25	10 3525 35
2	0.4	0.5	0.2	20
3	0.4	0.3	0.6	30
L	100	300	250
Ф	400	500	300

4. Лабораторная работа № 4. Потоки платежей. Ренты

Потоки платежей весьма часто встречаются на практике. Заработная плата выплачивается, как правило, в виде потока платежей 2 раза в месяц, примерно через 15 дней или один раз в месяц через 30 дней. Плата за квартиру — поток, как правило, ежемесячных платежей. Семья откладывает на покупку автомобиля, внося ежемесячно на счет в банк некоторую сумму, и т. д. Поэтому изучение потоков платежей очень важно.

4.1. Потоки платежей

Поток платежей — это последовательность величин самих платежей (со знаками) и моментов времени, когда они осуществлены.

Платеж со знаком плюс, который может быть опущен, — это поступление, платежи со знаком минус представляют собой выплаты.

Поток называется конечным или бесконечным в зависимости от количества платежей в нем.

Пусть — поток платежей, в нем — моменты времени, — платежи. Кроме того, предполагается, что известна ставка процента , обычно неизменная в течение всего потока.

Современной величиной потока в момент называется сумма платежей потока, дисконтированных к этому моменту — .

Достаточно найти величину потока в какой-то момент , тогда в любой другой момент величина потока .

Величина называется современной величиной потока; если есть пследний платеж, то величина потока в момент этого платежа называется конечной величиной потока.

Пример 4.1. Пусть поток есть .

Найдем характеристики этого потока при ставке процента = 10%.

Сначала найдем современную величину потока:

Теперь можно найти и конечную величину потока: . à

Поток положительных платежей с постоянными промежутками между ними называется рентой. Часто сами платежи также являются одинаковыми. Далее рассматриваются только ренты с одинаковыми платежами.

4.2. Конечная годовая рента

Это самая простая рента: в ней только один платеж в год, длительность ее лет, годовая процентная ставка . На рентные платежи начисляются сложные проценты.

Пример 4.2. Рассмотрим 5-летнюю ренту с годовым платежом 1000 руб., процентная ставка = 10%.

Поясним движение денежных сумм. В конце 1-го года в банк вносится 1000 руб. В конце 2-го года эта сумма возрастает до 1100 руб. за счет начисленных 10%. Вместе с очередным внесенным платежом в 1000 руб. на счете уже 2100. В конце 3-го года эта сумма возрастает до 2310 руб. за счет начисленных 10% . Вместе с очередным внесенным платежом на счете теперь уже 3310 руб. и т. д. Наращенная сумма ренты равна 6105,1 руб. Современную величину ренты найдем, дисконтируя к моменту 0 наращенную сумму 6105,1. Получаем . à

Если платежи поступают в конце очередного промежутка, то рента называется постнумерандо, в начале — пренумерандо. Рассматриваемая в примере рента постнумерандо. В дальнейшем рассматриваются только такие ренты.

Изучим подробно конечную годовую ренту в общем виде.

Главная задача — найти современную величину этой ренты. Имеем .

Имеем сумму членов геометрической прогрессии с первым членом и знаменателем . Как известно, сумма членов геометрической прогрессии с первым членом и знаменателем равна .

Следовательно, сумма в фигурных скобках есть . И потому современная величина ренты есть

.

Величина обозначается и называется коэффициентом приведения ренты. С учетом этого обозначения имеем

.

Зная современную величину ренты, можно легко найти конечную ее величину, которая называется еще наращенной величиной ренты :

или

Величина обозначается и называется коэффициентом наращения ренты. С учетом этого обозначения имеем

.

Величины и связаны очевидным соотношением:

или

.

Коэффициент наращения показывает, во сколько раз наращенная величина ренты больше ее годового платежа. Аналогичный смысл имеет и коэффициент приведения ренты: он показывает, во сколько раз современная величина ренты больше ее годового платежа. Можем дать другое толкование смысла понятия «современная величина ренты»: если в момент 0 положить в банк современную величину ренты под процентов годовых, то к концу -го года она вырастет до наращенной величины ренты . Итак, имеем формулы для конечной годовой ренты