Математическое и имитационное моделирование экономических процессов в Mathcad (стр. 31 )

Пусть производится большое число независимых опытов, в каждом из которых событие появляется с вероятностью . Введем СВ

Оценка вероятности события определяется формулой

, (9.4)

где - число опытов, в которых появилось событие . Отношение определяет относительную частоту события . Распределение при большом значении близко к нормальному с математическим ожиданием и среднеквадратическим отклонением

. (9.5)

Если СВ является непрерывной, то оценка математического ожидания имеет вид

, (9.6)

где - выборочные данные. Оценка (1.8) при большом значении является приближенно нормальной СВ со средним и среднеквадратическим отклонением .

Рассмотрим два примера по определению точности результатов расчетов, полученных ММК.

Пример 1. Проведено независимых опытов, в каждом из которых событие появляется с некоторой неизвестной нам вероятностью . В результате этих опытов получена оценка по формуле (3.4). Найти вероятность того, что отличается от вероятности не больше чем на заданную величину . Так как оценка – при большом нормальная СВ с математическим ожиданием и среднеквадратическим отклонением (3.5), то искомая вероятность равна

. (9.7)

Здесь

(9.8)

- функция Лапласа. Как пользоваться формулой (3.7), если вероятность нам неизвестна и мы ее находим? В выражение (3.7) нужно заменить на . Задавая достаточно большую величину вероятности, например, равную 0,95, 0,98, можно найти необходимое значение для достижения заданной точности.

Пример 2. Проведено независимых опытов, в каждом из которых наблюдается значение СВ . Вычисляется оценка среднего значения по формуле (3.6). Найти вероятность того, что оценка отклоняется от математического ожидания не больше чем на заданную величину . Как и в предыдущем примере

, (9.9)

где – среднеквадратичное отклонение СВ Если величина неизвестна, то вместо нее можно использовать соответствующую оценку

. (9.10)

Обычно на практике точность характеризуют величиной относительной среднеквадратической ошибки , которая уменьшается с ростом как .

9.3. Лабораторное задание

1. Разработать алгоритм вычисления площади заданной фигуры методом Монте-Карло и написать для него программу в пакете Mathcad. Определить величину относительной средне-квадратичной ошибки вычисленной оценки для различных прямоугольных областей , содержащих заданную фигуру (см. рис. 9.2). Найти точное значение площади заданной фигуры и сравнить полученные результаты.

Рис. 9.2

Фигура задана следующей кривой

. (9.11)

Площадь фигуры равна .

Значения параметров и приведены в таблице 9.1.

№ варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	2	3	4	5	6	5	4	3	2	1
	4	5	6	7	8	9	10	9	8	7
	3	3	5	5	7	7	6	6	4	4
	5	5	6	8	8	10	10	10	10	10

2. Разработать алгоритм вычисления объёма заданной фигуры методом Монте-Карло и написать для него для него программу в пакете Mathcad. Определить величину относительной средне-квадратичной ошибки вычисленной оценки для различных прямоугольных областей , содержащих заданную фигуру (см. рис. 1.3). Найти точное значение объема заданной фигуры и сравнить полученные результаты.

Фигура представляет собой прямоугольный параллелепипед с размерами , срезанный сверху параболоидом вращения

. (9.12)