Математическое и имитационное моделирование экономических процессов в Mathcad (стр. 30 )

8.3. Варианты заданий по лабораторной работе №8

Вариант 1.

1).  - биномиальное распределение с параметрами и .

2).  - распределение с одной степенью свободы.

Вариант 2.

1).  - биномиальное распределение с параметрами и .

2).  - закон равномерной плотности на (-2; 5).

Вариант 3.

1)  - биномиальное распределение с и .

2)  - нормальный закон с параметром .

Вариант 4.

1).  - закон Пуассона с параметром .

2).  - распределение с 2 степенями свободы.

Вариант 5..

1).  - биномиальное распределение с параметрами и .

2).  - распределение Стьюдента с 3 степенями свободы.

Вариант 6.

1).  - закон Пуассона с параметром .

2).  - показательное распределение Коши с параметром .

Вариант 7.

1).  - биномиальное распределение с параметрами и .

2).  - нормальный закон с параметрами и .

Вариант 8.

1).  - закон Пуассона с параметром .

2).  - нормальный закон с параметрами и .

Вариант 9.

1).  - закон Пуассона с параметром .

2).  - показательный закон с параметром .

Вариант 10.

1).  - биномиальное распределение с параметрами и .

2).  - распределение с одной степенью свободы.

9. Лабораторная работа №9. Метод статистических испытаний Монте-Карло

Цель работы:

Ознакомиться с методом Монте-Карло и научиться вычислять площадь заданной фигуры и объём тела этим методом.

9.1. Метод Монте-Карло

В последнее время область приложений метода численного моделирования или метода Монте-Карло существенно расширилась в связи с бурным развитием вычислительной техники. Особо следует отметить значительный прогресс, связанный с увеличением быстродействия вычислительных машин, что особенно важно при использовании метода Монте-Карло.

Определение. Методом Монте-Карло (ММК) называется численный метод решения математических задач при помощи моделирования случайных величин.

Необходимо отметить, что ММК используется для решения любых математических задач, а не только задач вероятностного происхождения. Название «Монте-Карло» произошло от города Монте-Карло, известного своими казино, т. к. простейшим прибором для генерирования случайных чисел служит игральная рулетка. Возникновение метода Монте-Карло связывают с именами Дж. Неймана, С. Улама, Н. Метрополиса, Г. Канна и Э. Ферми, которые в 40-х годах работали в Лос-Аламосе. Официальной датой рождения ММК считают 1949 год, когда появилась статья под заглавием «Метод Монте-Карло» (Metropolis N., Ulam S. M. The Monte Carlo method. J. Amer. Statist. Assoc.,1949, 44, № 000. P. 335−341).

Построение алгоритмов ММК основано на сведении задач
к расчету математических ожиданий. Это означает, что для вычисления скалярной величины нужно придумать такую случайную величину , для которой ее математическое ожидание . Тогда, получив в численном эксперименте независимых значений можно найти, что

. (9.1)

Пример. Требуется оценить объем некоторой ограниченной пространственной фигуры , показанной на рис. 1.1

Возьмем прямоугольный параллелепипед , содержащий область . Объем параллелепипеда П известен и равен . Разыграем координаты случайных точек, равномерно распределенных в области , и обозначим через количество точек, попавших в область G. При большом будет приближенно выполняться соотношение

,

из которого найдем

. (9.2)

В нашем примере случайная величина

а среднее арифметическое равно

. (9.3)

При решении задач ММК необходимо генерировать случайные величины , равномерно распределенные в интервале [0; 1].

9.2. Оценка точности результатов, полученных методом

Монте-Карло

Оценка точности результатов, полученных методом Монте-Карло, основана на центральной предельной теореме теории вероятностей, из которой следует, что при большом объеме выборки относительная частота события сходится по вероятности к вероятности события , а среднее арифметическое выборочных данных сходится по вероятности к их математическому ожиданию. Используя ММК, можно провести большое число независимых опытов и с заданной точностью найти оценки искомых величин. При расчетах ММК возникает вопрос оценки точности полученных результатов. Ответ на этот вопрос можно получить на основе центральной предельной теоремы, из которой следует, что при большом объеме выборки плотность вероятности выборочного среднего приближается к нормальному распределению.