Математическое и имитационное моделирование экономических процессов в Mathcad (стр. 8 )

б) множитель Лагранжа .

Рис.2.6а. Результаты решения примера 5 (задание (а)).

Рис.2.6б. Результаты решения примера 2.5 (задание (б)).

2.4.2. Взаимная задача к задаче оптимального выбора благ потребителем

Зафиксируем значение функции полезности на уровне и рассмотрим те блага , для которых , т. е. те блага, которые дают потребителю один и тот же уровень удовлетворения . Очевидно, что при заданном векторе цен на блага стоимости таких благ различны. Поставим взаимную задачу: какой набор благ, обеспечивающий данный уровень удовлетворения потребностей, самый дешевый. Математически такая взаимная задача формулируется так: найти минимум функции

(2.14)

при условии

(2.15)

Геометрически для задачу (2.14) – (2.15) можно сформулировать следу­ющим образом: для данной кривой безразличия с уравнением среди параллельных бюджетных линий найти ту, которая ее касается. Точка касания и будет оптимальным решением (рис. 2.7).

Рис. 2.7 Геометрическая интерпретация модели (2.14) – (2.15)

Решение задачи (2.14) – (2.15) удовлетворяет следующей системе уравнений

. (2.16)

Решение системы (2.16) определяет оптимальный набор благ , где

, (2.17)

и множитель . Минимальные затраты будут зависеть от величины и вектора цен . Меняя уровень потребления , получим , которая называется функцией затрат потребителя.

В оптимальной точке , т. е. множитель Лагранжа показывает, какие дополнительные затраты необходимо сделать, чтобы уровень удовлетворения (полезность) увеличить на единицу.

Выше было показано (см. (2.13))), что , т. е. множитель показывает, какую дополнительную полезность мы получим на дополнительную единицу расходуемого дохода. Значит, по смыслу множители и взаимообратны. Установим, как связаны оптимальные решения взаим­ной задачи и задачи оптимального выбора благ потребителем. Пусть равно максимальному значению функции полезности , полученному при решении задачи оптимального выбора благ потребителем. В этом случае что , а также , где – заданный доход потребителя в задаче оптимального выбора благ по­требителем (рис. 2.8).

Рис. 2.8 Геометрическая интерпретация модели (2.14) – (2.15)

Пример 2.6. Для мультипликативной функции полезности потребителя

найти решение:

а) задачи оптимального выбора благ потребителя и взаимной задачи.

Рис. 2.9. Результаты решения примера 2.6.

2.5. Варианты заданий лабораторной работы №2

Задание 1. Построить графики ФП и кривые безразличия (для ).

Задание 2. Рассчитать предельные полезности ФП и построить их графики.

Задание 3. Рассчитать коэффициент предельной эквивалентной замены благ , матрицу Гессе и провести исследование матрицы на отрицательную определённость

Задание 4. При заданном спросе и заданном предложении , ценах на блага рассчитать доход потребителя, при котором доступное множество благ будет: а) пустым; б) полным.

Задание 5. При заданном спросе и заданном предложении , ценах на блага и доходе потребителя Найти:

а) оптимальный набор благ и множитель Лагранжа ;

б) решение взаимной задачи

Варианты заданий

Тип функции полезности	Функция полезности	Варианты
Логарифмич-есчкая		1. 2. 3. 4.
Мультиплика-тивная		5. 6. 7. 8.
Аддитивная		9. 10. 11. 12.
Квадратичная		13. 14. 15. 16.

3. Лабораторная работа №3. Балансовые модели

Балансовые модели, как статистические, так и динамические, широко применяются при экономико-математическом моделировании экономических систем и процессов. В основе создания этих моделей лежит балансовый метод, т. е. метод взаимного сопоставления имеющихся материальных, трудовых и финансовых ресурсов и потребностей в них. Если описывать экономическую систему в целом, то под балансовой моделью понимается система уравнений, каждое из которых выражает требование баланса между производимым отдельными экономическими объектами количеством продукции и совокупной потребностью в этой продукции.