Математическое и имитационное моделирование экономических процессов в Mathcad (стр. 7 )

Рассмотрим вопрос о взаимозаменяемости благ. Пусть объемы потребляемых благ изменились соответственно на малые вели­чины . Тогда полным приращением полезности является величина – полный дифференциал функции полезности. Пусть уровень по­лезности не изменяется, т. е. изменение набора благ происходит так, что сохраняется одна и та же поверхность безразличия . Предположим, что количество всех благ, кроме -го и -го, которые взаимозаменяемы, не изменяются. Тогда получим

.

Отсюда имеем

.

Величина называется коэффициентом (нормой) предельной эквивалентной замены благ, который обратно пропорционален от­ношению предельных полезностей этих благ, взятому с обратным знаком. Поскольку , то , т. е. увеличение потребления
одного блага вызывает уменьшение другого для сохранения одного и того же уровня полезности.

Изучение изменения нормы предельной заменяемости одних благ другими играет важную роль при изучении закономерностей потребле­ния: если потребность в определенном благе удовлетворяется незначи­тельно, то относительная полезность этого блага по отношению к дру­гим для сохранения одного и того же уровня полезности высока.

Рассмотрим теперь смысл вторых частных производных функции полезности. Вторые частные производные характеризуют изменение предельной полезности блага при изменении потребления этого же блага. Пусть , т. е. предельная полезность любого блага уменьшается по мере того, как его потребление увеличивается. Это свойство называют законом Госсена – законом убывания предельной полезности. Таким образом, предпола­гаем, что функция полезности дважды дифференцируема, имеет непре­рывные частные производные, а матрица Гессе , образованная из вторых частных производных, является отрицательно опре­деленной (ее главные миноры нечетного порядка отрицательны, а чет­ного положительны для любого набора . Это тре­бование относительно функции полезности означает, что функция полезности строго вогнута.

Пример 2.4. Для функций полезности

найти:

предельные полезности, коэффициент предельной эквивалентной замены благ , матрицу Гессе и провести исследование матрицы на отрицательную определённость.

Рис.2.4. Результаты решения примера 2.4

2.4. Оптимальный выбор благ потребителем

2.4.1. Модель задачи оптимального выбора

Математическая модель выбора благ потребителем имеет следую­щий вид:

(2.5)

при условиях:

, (2.6)

. (2.7)

Ограничение (2.7) означает, что спрос на -е благо ограничен величиной , предложение – .

Для получаем задачу

(2.8)

при ограничениях

. (2.9)

На рис. 2.5. дана геометрическая интерпретация модели при ограничениях

Рис. 2.5. Геометрическая интерпретация модели при .

На рис. 2.5 прямая АВ соответствует бюджетному ограничению, треугольник OAB – области доступных наборов, а точка каса­ния кривой безразличия со стороной АВ треугольника OAB определяет оптимальный набор благ задачи (2.8) – (2.9).

Задача (2.8) –(2.9) является задачей математического про­граммирования и состоит в максимизации строго вогнутой функции при линейном ограничении. Решение такой задачи существует, и оно един­ственно. Это оптимальное решение называют точкой равновесия зада­чи оптимального выбора благ потребителем.

Решение задачи (2.8) –(2.9) удовлетворяет системе

, (2.10)

. (2.11)

Отсюда следует, что предельные полезности пропорциональны ценам соответ­ствующих благ.

Геометрически свойство (2.11) означает, в точке оптимума вектор бюджетной гиперплоскости (прямой AB на рис. 2.2) и вектор-градиент функции полезности коллинеарны, т. е. . Из (2.11) следует, что , так как .

Полученное оптимальное решение задачи (2.10) – (2.11) зависит от вектора цен и дохода , т. е. в общем случае решение задачи может быть записано в виде и как функций переменных и .

Из приведенных результатов вытекают следующие следствия, име­ющие место при оптимальном выборе благ потребителем.

1. Предельные полезности благ пропорциональны их ценам:

.

2. . Отношение предельных полезностей двух благ равно отношению их цен:

.

3. Предельная полезность, приходящаяся на денежную единицу, одинакова для всех приобретаемых благ:

.

4. Равные предельные полезности, приходящиеся на денежную единицу, равны множителю - предельной полезности денежной едини­цы, которую потребитель расходует для приобретения благ:

.

5. Норма замещения:

.

6. В оптимальной точке имеем равенство:

. (2.12)

Таким образом, величина множителя Лагранжа означает допол­нительную полезность, приходящуюся на дополнительную единицу до­хода, т. е. предельную полезность денежной единицы дохода потребите­ля.

Пример 2.5. Дана функции полезности , доход потребителя и заданы цены благ . Кроме того, заданы ограничения на спрос и предложение благ и . Найти:

а) оптимальный набор благ и норму замещения ;