Математическое и имитационное моделирование экономических процессов в Mathcad (стр. 20 )

или

.

Из этихвыражений найдем связь между и : (для простой ставки) и (для сложной ставки). Если время измеряется в годах, то - среднегодовая доходность операции.

Таким образом, финансовой операции ставится в соответствие эквивалентная операция наращения суммы по ставке в течение времени .

5.2. Учет налогов

Налоги и инфляция заметно влияют на эффективность финансовой операции. Рассмотрим учет налогов. Налог начисляется, как правило, на проценты, получаемые при размещении денежной суммы в рост. Предположим, на сумму в течение времени начислялись проценты по ставке , - ставка налога на проценты. Тогда величина процентов

,

а сумма налога . Наращенная сумма после выплаты налога составляет

.

Если - простая процентная ставка, то . Тогда

.

Видим, что фактически наращение производится по ставке .

Если – сложная процентная ставка, то . Тогда

.

Пример 5.1. При выдаче кредита на 2 года под годовую сложную процентную ставку 0,08 кредитор удерживает комиссионные в размере 0,5% от суммы кредита. Ставка налога на проценты 10%. Какова доходность операции для кредитора?

Если - сумма кредита, а - сумма погашаемого долга, то , где  = 0,08 , = 2. Сумма комиссионных , где = 0,005. Тогда сумма, фактически выданная в долг, составит . После выплаты налога у кредитора останется , где = 0,1 - ставка налога. Уравнение доходности имеет вид . Разрешая это уравнение относительно , получим

.

Заметим, что без учета налога ( = 0) доходность операции составила бы 0,08271.

5.3. Учет инфляции

Инфляция – обесценение денег, проявляющееся в росте цен на товары и услуги, что влечет за собой снижение покупательной способности денег.

Предположим, что за единиц времени получена наращенная сумма вклада . Индекс цен за период вырос до значения . Тогда реальная сумма вклада вследствие снижения покупательной способности денег составит

,

где – индекс цен на интервале ; , … , - отрезки времени в сроке (), длины которых единиц времени; () – темп инфляции на отрезке (измеряется в процентах).

Так как , то , что означает фактическое снижение ставки наращения.

Пример 5.2. Ожидаемый годовой темп инфляции первых двух лет вклада составляет 3%, а следующих трех - 4%. Какую минимальную годовую ставку сложных процентов должен предложить банк клиенту, чтобы реальная годовая доходность вклада была не меньше 8% ?

Здесь - момент размещения вклада, 1 год - единица измерения времени, срок вклада = 5 лет. = 0,03 и = 0,04 – среднегодовые темпы инфляции на временных отрезках [0,2], [2,5]. Для доходности по вкладу должно быть выполнено условие: . Пусть - годовая сложная процентная ставка, под которую размещена сумма . Тогда наращенная сумма вклада через лет . С учетом инфляции реальная сумма вклада составит , где индекс цен согласно равен . Уравнение доходности имеет вид: . Разрешая это уравнение относительно и учитывая требуемое условие для доходности, получим:

.

Отсюда 0,11887. Значит, минимальная процентная ставка размещения вклада составляет 0,11887 против 0,08 без учета инфляции.

5.4. Поток платежей и его доходность

Пусть – поток платежей, в нем – моменты времени, – платежи. Будем говорить, что рассматриваемый поток имеет современную величину при уровне доходности , если . Если поток есть годовая рента с годовым платежом и длительностью , то рента имеет современную величину при уровне доходности , если . Фиксируем , тогда при увеличении доходность ренты увеличивается. Можно сказать и по-другому: для увеличения доходности ренты надо увеличить годовой платеж.