Математическое и имитационное моделирование экономических процессов в Mathcad (стр. 6 )

1) пустое множество, т. е. при имеющемся доходе и ценах потребитель не может приобрести на рынке даже ми­нимального набора благ и можно сказать, что в этом случае он живет за чертой бедности;

2) частичное множество, т. е. потребителю доступны не все наборы благ при имеющемся доходе и установившихся ценах на рынке благ;

3) полное множество, т. е. потребитель настолько богат, что ему доступен любой набор благ при его доходе и действующих ценах.

Таким образом, множество доступных благ является выпуклым множеством, определяемым системой неравенств

, , , (2.4)

где – некоторые подмножества множества .

Пример 2.1. Пусть заданы два блага и . Известно: спрос , предложение , вектор цен . При каком доходе потребителя доступное множество благ будет: а) пустым; б) полным.

Рис. 2.1а. Результаты решения примера 2.1. Пустое доступное множество благ (д. е.)

Рис. 2.1б. Результаты решения примера 2.1. Полное доступное множество благ (д. е.)

2.2. Функция полезности и ее свойства

Рассмотрим вопрос о выборе набора благ. Каждое благо должно удовлетворять ту или иную потребность. Способность удовлетворять ту или иную потребность на­зывают полезностью блага.

Функция , определенная на неотрицательном ортанте (или некотором ), называется функцией полезности, соответствующей отноше­нию предпочтения , если , тогда и только тогда, когда ,

причем если , то и обратно, если , то .

Функция полезности , по существу, представляет систему пред­почтений потребителя. Основное ее свойство в том, потребитель предпочитает выбирать , а не , если , она упорядочивает наборы по предпочтению их друг другу. Отсюда следует, что потребитель при выборе набора благ стремится максимизировать свою функ­цию полезности.

В таблице 2.1 приведены четыре типа функции полезности.

Рассмотрим некоторые общие свойства функции полезности.

1) Функция полезности и дважды дифференци­руема и строго выпукла.

2) Функция полезности не насыщена. Свойство ненасыщаемости состоит в том, для любых задан­ных двух наборов соотношение влечет , а соотношения и влекут . Значит, функция полезности является возрастающей по любому ее аргументу, т. е. .

3) .

Таблица 2.1

Тип функции полезности	Функция полезности	Ограничения
Логарифмич-есчкая
Мультиплика-тивная
Аддитивная
Квадратичная		(отрицательно определена)

Уравнению , где – константа, соответствует определенная по­верхность равноценных (одинаковой полезности) наборов благ (множе­ство безразличия), и наоборот, каждому множеству безразличия соот­ветствует некоторая поверхность, определяемая уравнением . Эти поверхности называют поверхностями безразличия. В случае двух благ, т. е. в их называют кривыми безразличия.

Пример 2.2. Построить графики функций полезности, приведенных в таблице 2.1 при

Рис. 2.2а. Функции полезности и

Рис. 2.2б. Функции полезности и

Пример 2.3. Построить кривые безразличия для функции полезности и а);

б).

Рис. 2.3а. Кривые безразличия для функции полезности

Рис. 2.3б. Кривые безразличия для функции полезности

2.3. Предельная полезность и предельная норма замеще­ния благ

В теории потребительского выбора большую роль играют предельные полезности благ, которые выражают дополнительное удов­летворение от потребления одной дополнительной единицы блага. Ма­тематически этот факт описывается частными производными функции полезности.

Величина показывает изменение полезности на дополнительную единицу -го блага. Переходя к пределу, получим . Частная производная называется предельной полезностью -го блага.