Математическое и имитационное моделирование экономических процессов в Mathcad (стр. 15 )

4.4. Общая рента

Пусть платежи поступают раз в году через равные интервалы, и суммарный годовой платеж равен , так что единичный платеж равен ; проценты начисляются раз в году также через равные интервалы. Рассмотрим подробно 1-й год.

Рисунок отражает ситуацию при = 4, = 2 (платежи вносятся в моменты, обозначенные *, начисления процентов происходят в моменты + , т. е. в середине года и в конце года).

Необходимы некоторые уточнения. В очередной момент начисления проценты начисляются по ставке сложных процентов на каждый более ранний платеж с учетом момента его поступления. Так как -й платеж отстоит от конца на лет, то на него будет произведено начислений по полной ставке ( — целая часть ) и, возможно, еще одно начисление по неполной ставке, и его частичный вклад в наращенную сумму ренты составит . Сумма всех таких частичных вкладов и составляет наращенную сумму ренты

.

Здесь — количество поступлений платежей.

Изменяя порядок суммирования, сумму можно записать так:

.

Ясно, что слагаемые этой суммы есть члены геометрической прогрессии с первым членом , знаменателем и числом членов . Значит их сумма равна

. (4.2)

Найдя наращенную величину ренты, без труда можно найти современную величину ренты

. (4.3)

Из этой общей формулы можно получить формулы для подсчета наращенной величины частных рент: когда платеж один раз в году, а начислений процентов несколько раз; когда, наоборот, начисление процентов только раз в году, зато платежей несколько раз, и т. п.

Например, пусть — число платежей в году, а проценты начисляются один раз, т. е. = 1, тогда наращенная величина такой ренты есть

и . (4.4)

Или, пусть в году один платеж ( = 1), зато проценты начисляются раз в году, тогда наращенная величина такой ренты есть

и . (4.5)

Весьма часто , т. е. число платежей в году и число начислений процентов совпадают, тогда из общей формулы (2) получаем

, (4.6)

. (4.7)

Формулу (4.6) легко получить из формулы (4.1) для конечной годовой ренты, положив в ней вместо с учетом того, что число платежей есть , а не .

4.5. Вечная» годовая рента

Под «вечной» годовой рентой понимается рента, последовательность платежей которой неограниченна, предполагается, что рента будет выплачиваться неограниченно долго. Наращенная величина такой ренты бесконечна, но современная величина равна . Докажем это.

Из формулы (4.1) для конечной годовой ренты имеем:

.

Перейдем в этой формуле к пределу при и получим .

Пример 4.5. Бизнесмен арендовал виллу за $10 000 в год. Какова выкупная цена аренды при годовой ставке процента 5%?

Решение. Эта выкупная цена есть современная величина всех будущих арендных платежей и равна = 200 000 долл. Между прочим, это в точности годовые процентные деньги, которые стал бы получать арендодатель с $200 000, помещенных в банк под упомянутую процентную ставку.

4.6. Объединение и замена рент

Общее правило объединения рент очень просто: находятся современные величины рент-слагаемых и складываются, а затем подбирается рента-сумма с такой современной величиной и нужными остальными параметрами.

Пример 4.6. Найдем ренту-сумму для двух годовых рент: одна длительностью 5 лет с годовым платежом 1000, и другая — 8 лет и платежом 800. Годовая ставка процента 8%.

По таблицам находим коэффициенты приведения: = 3,993, = 5,747. Далее, = 1000 • 3,993 = 3993, = 800•5,747=4598.

Значит, у ренты-суммы современная величина = 8591.

Теперь можно задать либо длительность ренты-суммы, либо годовой платеж и затем второй из этих параметров определится. Такие задачи рассмотрены в п. 4.3.

Примерно так же решается и вопрос о замене данной ренты другой с измененными параметрами: находится современная величина данной ренты, а затем подбирается рента с такой современной величиной и нужными параметрами.

4.6.Примеры решения типовых задач в Mathcad

Задание 1. В банк помещен депозит в размере = 5000 руб. По этому депозиту в первом году будет начислено = 10% , во втором - = 12%, в третьем - = 15%, в четвертом и пятом - = 16% годовых. Сколько будет на счету в конце пятого года? Сколько надо было бы поместить на счет при постоянной процентной ставке = 13%, чтобы обеспечить ту же сумму. Расчеты провести для простой и сложной процентной ставки.

Решение. Формула наращения по схеме сложных и простых процентов для переменной ставки имеет вид

а) ,

б) .

где — -й период начисления процентов (, ).

Вводим исходные данные

Решение MathCAD для простой ставки

Решение MathCAD для сложной ставки

Ответ: в конце 5-го года на счету будет 8450 руб. либо 9352 руб., если начисление процентов проводится по схеме простых процентов либо по схеме сложных процентов. Для получения суммы 8450 руб. в конце пятого года при ставке = 13% необходимо в начале периода поместить депозит в размере 5121 руб. (по схеме простых процентов) либо 5 173 руб. руб. (по схеме сложных процентов) для получения суммы 9352 руб..