Тема 1 Квантовые свойства электромагнитного излучения (стр. 14 )

 

 

Задача 3 Убедиться, что магнитный момент атома в состоянии  равен нулю. Интерпретировать этот факт на основе векторной модели атома.

Решение: Определим значение «эффективного» магнитного момента атома в соответствии с формулами (7.14) и (7.15). Из спектроскопического обозначения состояния атома следуют значения квантовых чисел: . Подставив эти значения в формулу (7.15), получим значение фактора Ланде . Следовательно, и магнитный момент атома в соответствии с формулой (7.14) также равен нулю.

Обратимся к рисунку 7.1 и проанализируем векторную модель строения атома для данного состояния. Поскольку модули векторов моментов импульса  отражаются значениями квантовых чисел  (смотри формулы (7.1)-(7.3)), то из установленных значений  следует, что вектора  и  расположены под тупым углом. Значение этого угла можно определить следующим образом:

.

На рисунке 7.3 приведём векторные построения с учётом формул (7.9), (7.11), а также правил квантования (7.1)-(7.3).

 

Равенство нулю полного магнитного момента атома  означает, что вектор суммарного магнитного момента  составляет с вектором  прямой угол. Тогда вследствие прецессии вектора  вокруг направления  при усреднении его по времени получаем нулевое значение полного магнитного момента.

 

Тема 4 ОПЕРАТОРЫ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН И ИХ СВОЙСТВА

5       Сущность квантовомеханического описания состояния частицы

6       Уравнение собственного состояния

7       Условие коммутации операторов

8       Основные квантовомеханические операторы физики атомов

 

Основные понятия по теме

Оператором называется правило, с помощью которого каждой функции из некоторого множества функций сопоставляется функция из того же или другого множества. Для решения квантовомеханической задачи о состоянии движения частицы необходимо знать вид операторов для наиболее важных с этой точки зрения физических величин. Операторы, которые ставятся в соответствие реальным физическим величинам, являются линейными эрмитовыми операторами.

Оператор  является линейным, если

, (4.1)

где  и  -постоянные;  и - произвольные функции.

Оператор  эрмитов (самосопряженный), если

. (4.2)

Вид оператора для конкретной физической величины зависит от выбора независимых переменных в функциях, к которым он применяется. В качестве независимых переменных можно брать только такие величины, операторы которых между собой коммутируют.

Операторы  и  коммутируют (коммутативны), если их коммутатор равен нулю:

. (4.3)

В квантовой механике особый интерес представляют состояния, в которых частица характеризуется определенными (конкретными) значениями физических величин. Каждое из таких состояний называется собственным состоянием данной частицы, а указанные значения величин – собственными значениями физических величин (или их операторов). -функция, описывающая собственное состояние, является решением уравнения для собственного состояния

. (4.4)

При этом -функция, называемая собственной функцией оператора , определяется функциями . При измерении получается одно из собственных значений оператора этой величины. Плотность вероятности, с которой при измерении будет получено значение физической величины, равное , определяется величиной . Собственные функции, описывающие различные состояния, ортогональны друг другу:

. (4.5)

Совокупность собственных значений оператора (спектр значений) должен совпадать с совокупностью наблюдаемых значений физической величины.

Если два оператора  и  коммутируют, то они имеют общие собственные функции. Справедливо и обратное утверждение: если операторы  и  имеют общую полную систему собственных функций, то они коммутируют.

Следствием из этого положения является утверждение: если операторы  и  коммутируют, то одновременно могут быть определены точные значения этих физических величин.

Соотношения, имеющие место для значений физических величин в классической механике, справедливы в квантовой механике для операторов и средних значений этих физических величин.

Основные квантовомеханические операторы имеют вид:

оператор проекции импульса ……….

; (4.6)

оператор квадрата импульса

; (4.7)

 

оператор полной энергии (гамильтониан) ……..

; (4.8)

оператор проекции момента импульса ………..

;

; (4.9)

 

;

оператор квадрата момента импульса …………..

. (4.10)

Здесь  - оператор Лапласа. В сферических координатах он имеет вид:

;

,

где  - угловая часть оператора Лапласа.

 

Вопросы для самоконтроля

22    Какой оператор называется линейным эрмитовым оператором?

23    Запишите уравнение собственного состояния оператора

24    В чем состоит свойство коммутации операторов?

25    Запишите явный вид операторов  , ,  ,  ,