Тема 1 Квантовые свойства электромагнитного излучения (стр. 6 )

 

Примеры решения задач

Задача 1 Пользуясь теорией Бора, выведите формулы для потенциальной, кинетической и полной энергии электрона, движущегося по -й орбите в водородоподобном атоме.

 

Дано: Z, n	Решение: Потенциальная энергия электрона в водородоподобном атоме с порядковым номером Z в периодической системе элементов определяется электростатическим взаимодействием электрона и ядра, которые можно считать точечными зарядами: . (2.10)
Найти: Un-? Tn-? En-?

Здесь  - расстояние между электроном и ядром (радиус -ой круговой орбиты электрона).

Кинетическая энергия электрона определяется формулой

, (2.11)

где  - скорость электрона на - ой орбите.

Для того, чтобы определить радиус - ой орбиты и скорость электрона , необходимо решить систему из уравнений (2.3), (2.4):

,

.

Получим:

, (2.12)

. (2.13)

Подставив (2.12) в формулу (2.10), а (2.13) – в формулу (2.11), получим следующие выражения для потенциальной и кинетической энергии электрона на - ой орбите:

, (2.14)

. (2.15)

Просуммировав (2.14) и (2.15), получим выражение для полной энергии электрона на - ой орбите:

.

Ответы: , , .

 

Задача 2 Фотон с энергией 16,5 эВ выбил электрон из невозбужденного атома водорода. Какую скорость будет иметь электрон вдали от ядра атома?

Дано: Eф=16,5 эВ=26,4·10-19 Дж n=1	Решение: Для того чтобы определить скорость выбитого из атома электрона, воспользуемся законом сохранения энергии для рассматриваемого явления. Получив энергию Eф, электрон, находящийся в невозбужденном состоянии (n=1) атома водорода (), преодолеет притяжение с ядром, т.е. потратит энергию  и, покинув атом, приобретет
Найти: -?

кинетическую энергию :

. (2.16)

В соответствии с теорией Бора энергия n –го стационарного состояния водородоподобной системы определяется по формуле (2.6). При условиях , n=1 она приобретает вид

Затратив энергию связи, электрон станет свободным, т.е. его энергия станет равной нулю. Значит

. (2.17)

Подставив (2.17) в формулу (2.16) и выразив затем скорость, получим

.

После вычислений получим значение скорости электрона 1,01·106 м/с.

Ответ: 1,01·106 м/с.

 

Задача 3 Атомарный водород возбуждают на n –й энергетический уровень. Определить длины волн испускаемых линий, если n =4; каким сериям принадлежат эти линии?

Дано: n=4	Решение: Различные атомы водорода, находящиеся в зоне возбуждения и переведенные в возбужденное состояние с n =4, могут вернуться в основное состояние (n=1), совершив различную совокупность
Найти:-?

квантовых переходов. Воспользуемся схемой энергетических уровней, изображенной на рисунке 2.1 и укажем все возможные последовательности квантовых переходов, переводящие атомы водорода с возбужденного уровня (n=4) на основной (n=1):

а) 4→3; 3→2; 2→1;

б) 4→2; 2→1;

в) 4→3; 3→1;

г) 4→1.

Выпишем неповторяющиеся квантовые переходы:

4→3 (); 3→2 (); 2→1() ; 4→2 (); 3→1 (); 4→1 . () . (2.18)

Выразим длины волн спектральных линий всех указанных квантовых переходов, пользуясь обобщенной формулой Бальмера (2.1) и связью между волновым числом и длиной волны излучения :

; ; . (2.19)

Длины волн , , выразим, пользуясь комбинационным принципом Ритца:

; ;

. (2.20)

Проведем вычисления значений длин волн,  , , , по формулам (2.19), (2.20), взяв из справочника значение постоянной Ридберга ( м-1 ).

Получим:

 м. Из отнесения спектральных линий различным квантовым переходам (2.18) следует, что эта линия относится к серии Пашена;

 м,  м (серия Бальмера);

 м,  м,  м (серия Лаймана).