Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции (стр. 10 )

Главная трудность в решении рассматриваемых задач заключается в правильном изображении соответствующих точек единичной окружности — границ промежутков и в правильном чтении получаемых промежутков.

Решения и комментарии

В заданиях 8.44 – 8.46 по сути требуется решить простейшие тригонометрические неравенства, но задача формулируется в других терминах. Здесь использованы все «табличные» значения tg  и ctg , а в задании 8.47 надо использовать арктангенс и арккотангенс.

8.47. Найдите все углы , для каждого из которых: в) tg  > 2.

Решение. Сначала найдем угол 1 , такой, что tg 1 = 2. Это 1 = arctg 2 (рис. 39). Теперь найдем все искомые углы , для каждого из которых tg  > 2: Рис. 39

arctg 2 + k < < + k, k Z.

8.6. Формулы для арктангенса и арккотангенса

В данном пункте доказаны формулы:

arctg (–a) = –arctg a,

arcctg (–a) = – arcctg a,

arctg (ctg ) = , ,

arcctg (ctg ) = , (0; ).

Здесь же показаны решения задач, связанных с вычислением arctg (tg ) для , а также arcctg (ctg ) для (0; ).

Решения и комментарии

8.52. Вычислите: г) arcctg (ctg (–)); д) arctg (tg ).

Решение. г) arcctg (ctg (–)) = arcctg (ctg ) = , так как (0; );

д) arctg (tg ) = arctg (tg (–)) = –, так как – .

8.53. Вычислите: а) arctg (tg 5); б) arcctg (ctg 5).

Решение.

а) arctg (tg 5) = arctg (tg (5 – 2)) = 5 – 2, так как 5 – 2 ;

б) arcctg (ctg 5) = arcctg (ctg (5 – )) = 5 – , так как 5 – (0; ).

Дополнительное задание. 1. Вычислите: sin (arctg a).

Решение. Так как arctg a существует для любого a R, то далее будем считать, что a — любое число. Обозначим = arctg a, тогда tg  = a.

Вычислим cos2 = = .

Так как – < < , то cos  > 0, поэтому cos  = = . Из формулы tg  = следует, что sin  = tg ×cos  = a× = .

Итак, sin (arctg a) = (a R).

2. Вычислите: tg (arcsin a).

Решение. Обозначим = arcsin a, тогда sin  = a. Так как tg  не определен для = и = –, то – < < , поэтому в этой задаче a (–1; 1). Вычислим cos2 = 1 – sin2 = 1 – a2.