Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции (стр. 15 )

Промежуточный контроль. С–34.

9.5. Формулы для двойных и половинных углов

В данном пункте доказаны формулы

sin 2 = 2sin  cos , (1)

cos 2 = cos2 – sin2, (2)

sin2 = , (3)

cos2 = . (4)

Идею доказательства формул (1) – (2) — в формулах для sin ( + ) и cos ( + ) заменить на — учащиеся должны обязательно знать.

Не рекомендуем формулы (3) и (4) писать в виде

sin = , cos = ,

так как учащиеся могут подумать, что для каждого существует два значения sin или cos, а это не так.

Решения и комментарии

9.62. Докажите справедливость равенства:

а) (sin  + sin )2 + (cos  + cos )2 = 4cos2.

Доказательство. (sin  + sin )2 + (cos  + cos )2 = sin2 + 2sin sin  +
+ sin2 + cos2 + 2cos cos  + cos2 = 2 + 2sin sin  + 2cos cos  = 2 +
+ 2(cos cos  + sin sin ) = 2 + 2cos ( – ) = 2(1 + cos ( – )) = 4cos2, что и требовалось доказать.

9.63. Докажите справедливость равенства:

а) sin 2 (sin 2 + sin 2) + cos 2 (cos 2 + cos 2) = 2 cos2 ( – ).

Доказательство. sin 2 (sin 2 + sin 2) + cos 2 (cos 2 + cos 2) =
= sin2 2 + sin 2sin 2 + cos2 2 + cos 2cos 2 = 1 + cos (2 – 2) =
= 2 cos2 ( – ), что и требовалось доказать.

9.64. а) Вычислим cos  cos  cos .

Для решения этой задачи умножим и разделим выражение A на 8 sin  и преобразуем полученную дробь, применяя 3 раза формулу синуса двойного угла:

cos  cos  cos  = =

= = = .

Заметив, что sin  = sin  = sin , имеем: cos  cos  cos  = .