Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции (стр. 20 )

9.85. а) ctg ctg  + ctg ctg  + ctg ctg  = 1.

Доказательство. Здесь , и — углы треугольника и подразумевается, что имеют смысл ctg , ctg  и ctg . Рассмотрим два случая: 1) среди этих углов нет прямого угла; 2) один из этих углов нет прямого угла.

В первом случае имеют смысл tg , tg  и tg  и так как , и — углы треуголь­ника, то tg  0, tg  0 и tg  0. Поэтому для таких углов, учитывая, что = 1800 – ( + ), справедливы следующие равенства:

ctg ctg  + ctg ctg  + ctg ctg  = ctg ctg  + (ctg  + ctg ) ctg  =
= ctg ctg  + (ctg  + ctg )ctg (1800 – ( + )) = ctg ctg  –
– (ctg  + ctg )ctg ( + ) = × – ( + )× = – = – = – + 1 = 1, что и требовалось доказать.

Следовательно, в первом случае равенство (1) доказано.

Во втором случае есть один прямой угол, например, угол — прямой. Тогда углы и = – — острые. Так как ctg  = 0, то доказываемое равенство перепишется в виде ctg ctg ( – ) = 1.

Так как ctg ( – ) = tg  и ctg  tg  = 1, то и во втором случае требуемое равенство доказано. Следовательно, равенство ctg ctg  + ctg ctg  +
+ ctg ctg  = 1 справедливо для любого треугольника.

9.86. Для углов таких, что , n Z, докажите справедливость равенства

tg 3 = . (3)

Доказательство. Для любых справедливы равенства

sin 3 = sin 2cos  + sin cos 2 = 2sin cos2 + sin (cos2 – sin2) =
= 3sin cos2 – sin3,