Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции (стр. 2 )

Теперь становится ясным, что при использовании радианной меры без числа и его долей обойтись невозможно. На рисунке 24 (в) показаны точки, которые на рисунке 23 (а) соответствовали углам в 00, 900, 1800, 2700. Теперь они соответствуют углам в , , , 2 радиан. Запоминанию этих углов (и следующих за ними) помогает «считалочка»: показывая точки на окружности, говорим: «раз пи на два, два пи на два, три пи на два, …». Аналогичный прием помогает при поиске точек, соответствующих углам в , , , , … (радиан).

Теперь, установив равенство: радиан = 1800 и разделив его сначала на , потом на 180, получим соотношения, которые надо запомнить:

1 радиан = ; радиан = 10.

С их помощью можно переводить градусную меру в радианную и обратно. Например, 1350 = 135×10 = 135× радиан = радиан; радиан = ×1 радиан =
= ×= 1500. В этих равенствах слово «радиан» обычно опускают и пишут коротко: 1350 = , = 1500.

Решения и комментарии

7.22. Запишите в виде + 2n, где n — некоторое целое число (0× 2) следующие углы: а) 6,5; б) ; в) –12 ; г) –17 .

Решение. а) 6,5 = 0,5 + 6; б) = + 4; в) 1 – 14; г) –
– 18.

Промежуточный контроль. С–24, С–25. Эти работы рассчитаны на обучение «чтению» точек единичной окружности, соответствующих «табличным» углам, а также на подготовку учащихся к записи ответов при решении простейших тригонометрических уравнений. При выполнении самостоятельной работы 25 учащиеся могут писать лишь правильные ответы, не делая пояснений, аналогичных тем, что имеются в п. 25 дидактических материалов.

7.3. Определение синуса и косинуса угла

В данном пункте нужно сначала повторить все сведения из тригонометрии прямоугольного треугольника, необходимые в дальнейшей работе: определения тригонометрических функций острого угла прямоугольного треугольника, нахождение двух сторон этого треугольника по одной его стороне и острому углу, вывод табличных значений синуса и косинуса для углов 300, 450, 600. При этом надо обратить внимание учащихся на тот факт, что большая часть тригонометрического материала, которую действительно лучше помнить, легко усваивается с опорой на наглядные образы, различные мнемонические правила, что запоминание фактов тригонометрии в виде таблиц является наименее продуктивным и опасным с точки зрения правильного воспроизведения запомненного.

В учебнике вводится понятие единичной окружности, синуса и косинуса угла , рассматриваются свойства синуса и косинуса как функций угла .

Для того, чтобы в дальнейшем успешно решать простейшие тригонометрические уравнения, учащиеся должны научиться правильно изображать на единичной окружности точки, соответствующие значе­ниям тригонометрических функций и в случае «табличных» значений уметь определять соответствующие значения аргументов этих функций. Достижению этой цели способствуют самостоятельные работы С – 26. Рис. 25

Обратите внимание учащихся на то, что точки первой четверти, соответствующие «табличным» значениям синуса и косинуса, надо строить так, как показано на рисунке 25. Эти точки находятся на пересечении с единичной окружностью осей координат, биссектрисы угла AOB, прямых x = и y = . Поэтому в тетради нужно рисовать единичную окружность радиусом 1 см или 2 см, чтобы было удобно делить пополам их радиусы с помощью клетчатой бумаги.

Применяя теорему Пифагора, из прямоугольных треугольников OMK и ONE найдём, что OK = NE = . Поэтому cos 300 = sin 600 = . Аналогично CF = OF =
= . Поэтому sin 450 = cos 450 = .

Следующий этап изучения тригонометрических функций — формирование понятий синуса и косинуса произвольного угла.

Для успешного освоения тригонометрии произвольного угла важно научить школьников определять значения тригонометрических функций по точке единичной окружности, соответствующей углу, и по значениям тригонометрических функций отмечать на единичной окружности точки и определять соответствующие им углы. Последнее умение, по сути, есть умение решать простейшее тригонометрическое уравнение. Только пока ставится задача не решить уравнение, а найти, например, все такие углы , для каждого из которых справедливо равенство sin  = 0 (см. задание 7.26, а).

Решения и комментарии

7.30. Вычислите, сделав рисунок: а) sin 120о; в) sin 135о.

Сделав рисунок 26, учащиеся поймут, что sin 1200 = sin 600, sin 1350 = sin 450. Затем, используя табличные значения, получат ответ: sin 1200 = , sin 1350 =
= .

Представляется целесообразным научить школьников решению таких задач до того, как они научатся на следующих уроках применять формулы в преобразованиях. Например, sin 1200 = sin (1800 – 600) = sin 600 = .

Рис. 26

7.35. Найдите синусы и косинусы следующих углов, где k — любое целое число: а) + 2k.