Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции (стр. 17 )

Докажите, что если , , — углы треугольника, то выполняется равенство (9.69–9.71):

9.69. а) sin  + sin  + sin  = 4 cos cos cos .

Доказательство. Сначала преобразуем правую часть равенства, учитывая, что = 1800 – ( + ):

sin  + sin  + sin  = sin  + sin  + sin (1800 – ( + )) =
= 2 sin cos  + sin ( + ) = 2 sin cos  + 2 sin cos  =
= 2 sin (cos  + cos ) = 2 sin ×2cos cos  =
= 2 sin (900 – )×2cos cos  = 4 cos cos cos , что и требовалось доказать.

9.70. а) sin2 + sin2 + sin2 = 2 + 2cos cos cos .

Доказательство. Сначала преобразуем отдельно левую (A) и правую (B) части доказываемого равенства, учитывая, что = 1800 – ( + ).

A = sin2 + sin2 + sin2 = sin2 + sin2 + sin2 (1800 – ( + )) =
= sin2 + sin2 + sin2 ( + ) = sin2 + sin2 + (sin cos  + sin cos )2 =
= sin2 + sin2 + sin2cos2 + 2sin cos sin cos  + sin2cos2.

B = 2 + 2cos cos cos  = 2 + 2cos cos cos (1800 – ( + )) =
= 2 – 2cos cos cos ( + ) = 2 – 2cos cos (cos cos  – sin sin ) =
= 2 – 2cos2cos2 + 2sin sin cos cos  = 2 – cos2(1 – sin2) –
– (1 – sin2)cos2 + 2sin sin cos cos  = 2 – cos2 + sin2cos2 – cos2 +
+ sin2cos2 + 2sin sin cos cos  = sin2 + sin2 + sin2cos2 +
+ 2sin cos sin cos  + sin2cos2.