Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции (стр. 16 )

Применение рассмотренного приема в следующем задании не так очевидно.

Дополнительное задание. Вычислим: cos  – sin .

Для решения задачи сначала приведем данное выражение к разности одноименных функций:

cos  – sin  = sin  – sin  = sin  – sin .

Теперь, применив формулу разности синусов, получим:

sin  – sin  = 2sin  cos  = –2sin  cos .

Умножим и разделим полученное произведение на 2cos  и применим два раза формулу синуса двойного угла:

–2sin  cos  = = = .

Заметив, что sin  = sin  = cos , имеем: cos  – sin  = –.

Промежуточный контроль. С–35.

9.6. Произведение синусов и косинусов

В этом пункте доказаны три формулы:

sin  cos  = (sin ( + ) + sin ( – )),

cos  cos  = (cos ( + ) + cos ( – )),

sin  cos  = (cos ( – ) – cos ( + )).

Эти формулы относятся к таким, которые проще вывести заново, если они не запомнились надежно. И здесь запоминанию формул способствует опора на чередование функций для синуса суммы или разности двух углов, косинуса суммы и разности двух углов.

Решения и комментарии

9.65. Преобразуйте в сумму или в разность: а) cos 3 cos .

Решение. cos 3 cos  = (cos (3 + ) + cos (3 – )) =
= (cos 4+ cos 2) = cos 4+ cos 2.

9.66. Докажите, что: а) sin  cos  – sin  cos  = – sin .

Доказательство. sin  cos  – sin  cos  = (sin ( + ) +
+ sin ( – )) – (sin ( + ) + sin ( – )) = (sin  + sin ) –
– (sin  + sin ) = – sin , что и требовалось доказать.