Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции (стр. 8 )

Пользуясь единичной окружностью и линейками клетчатой бумаги, учащиеся должны расположить данные числа на оси тангенсов как на рисунке 35.

8.13. Отметьте на оси котангенсов точки, соответствующие числам 0; 1; –1; 2; –2; ;
–; ; –.

Пользуясь единичной окружностью и линейками клетчатой бумаги, учащиеся должны расположить данные числа на оси котангенсов так, как на рисунке 36. Рис. 36

Умение решать задачи 8.9 и 8.13 поможет учащимся научиться решать простейшие тригонометрические уравнения tg x = a и ctg x = a, а также освоить новые понятия — арктангенса числа и арккотангенса числа.

8.16. Сравните:

д) tg 1 и tg 2; е) tg 2 и tg 3; ж) сtg 1 и сtg 2; з) сtg 2 и сtg 3; и) tg 1 и сtg 2;

Решение. д) Так как угол в 1 радиан — угол первой четверти, а угол в 2 радиана — угол второй четверти, то tg 1 > 0, а tg 2 < 0, поэтому tg 1 > tg 2;

е) так как углы в 2 и 3 радиана — углы из промежутка , где функция tg  возрастает и 2 < 3,то tg 2 < tg 3;

ж) так как углы в 1 и 2 радиана — углы из промежутка (0; ), где функция сtg  убывает и 1 < 2, то ctg 1 > ctg 2;

з) так как углы в 2 и 3 радиана — углы из промежутка (0; ), где функция сtg  убывает и 2 < 3, то ctg 2 > ctg 3;

и) Так как угол в 1 радиан — угол первой четверти, а угол в 2 радиана — угол второй четверти, то tg 1 > 0, а сtg 2 < 0, поэтому tg 1 > сtg 2.

Лучшему усвоению изученного материала помогает самостоятельная работа С–29 из дидактических материалов.

Промежуточный контроль. С–29.

8.2. Основные формулы для tg α и ctg α

В этом пункте доказаны основные формулы для tg и ctg : 

tg (–) = –tg , (1)

tg ( + n) = tg , n Z, (2)

ctg (–) = ctg , (3)

ctg ( + n) = ctg , n Z, (4)

tg ×ctg  = 1, , k Z, (5)

tg2  + 1 = , + k, k Z, (6)

ctg2  + 1 = , k, k Z. (7)

Здесь выполняются задания на упрощение выражений с помощью изученных формул, на нахождение по заданному значению одной из функции sin , cos , tg и ctg  значений остальных функций.

Решения и комментарии

8.22. Вычислите: в) sin , tg  и ctg , если < < и cos  = –0,6.

Так как cos  = –0,6, то sin2  = 1 – cos2 = 1 – 0,36 = 0,64.

Так как < < , то sin  < 0, поэтому sin  = – = –0,8.

tg  = = = ; ctg  = = .

И здесь лучше избегать записи sin  = по описанной выше причине.

8.24. Упростите выражение[1]: ж) ; з) .

Решение. ж) = =

= = =
= = tg ×tg .

з) = = = =
= = = ctg6 .