Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции (стр. 14 )

Решение. а) sin  – cos = cos  sin  – sin cos= sin ;

б) (cos – sin ) = cos  cos – sin  sin  = cos .

9.33. Найдите наибольшее и наименьшее значение выражения:

б) 5cos + 12sin .

Решение. б) Так как = 13, то

5cos + 12sin  = 13 = A.

Так как = 1, то найдется угол такой, что sin  = , а cos  = . Тогда A = 13 (sin  cos + sin  cos ) = 13 sin ( + ).

Так как наибольшее и наименьшее значения выражения sin ( + ) равны 1 и –1 соответственно, то наибольшее и наименьшее значения выражения A равны 13 и –13 соответственно.

Промежуточный контроль. С–32, С–33.

9.4. Сумма и разность синусов и косинусов

В данном пункте доказаны формулы

sin  + sin  = 2 sin cos ; (1)

sin  – sin  = 2 sin cos ; (2)

cos  + cos  = 2 cos cos ; (3)

cos  – cos  = –2 sin  sin . (4)

Для лучшего запоминания формул (1) – (4) надо обратить внимание учащихся на то, что в левой части каждой из них стоят суммы или разности одноименных функций от  и , а справа — удвоенные произведения двух функций от полусуммы или полуразности этих углов. Воспроизводить эти формулы будет легче, если учащиеся запомнят идею их доказательства: надо сложить или вычесть sin (x + y) и sin (x – y) или cos (x + y) и cos (x – y). В первом случае получим чередование функций «синус-косинус» и при сложении, и при вычитании, а во втором случае получим чередование функций «косинус-косинус» при сложении и «синус-синус» при вычитании.

В правой части каждой из формул (1) – (4) знак между и в числителе первого аргумента совпадает со знаком между функциями в левой части формулы.

Не рекомендуем правую часть формулы (4) писать без минуса: 2sin  sin . Учащиеся должны запомнить, что знак «–» в правой части формул (1) – (4) ставится только при вычитании косинусов.

Решения и комментарии

9.38. Докажите справедливость равенства: а) sin 500 + sin 100 – cos 200 = 0.

Решение. sin 500 + sin 100 – cos 200 = 2sin 300 cos 200 – cos 200 =
= cos 200 – cos 200 = 0, что и требовалось доказать.

9.40. Докажите справедливость равенства: а) cos  + cos  = 0.

Решение. а) cos  + cos  = 2 cos  cos  = 2×0×cos  = 0, что и требовалось доказать.

9.41. Вычислите: в) cos  cos .

Формулы для cos cos , sin  sin , sin  cos  еще будут изучаться в п. 9.6, необязательном для изучения на базовом уровне. Здесь же для решения задания а) воспользуемся равенством cos (x + y) + cos (x – y) = 2 cos x cos y, полученном при доказательстве формул 1 – 4. Из него нетрудно получить формулу cos x cos y =
= (cos (x + y) + cos (x – y)), с помощью которой выполним вычисления:

Решение. а) cos  cos  = (cos ( + ) + cos ( – )) =
= (cos 450 + cos 300) = ( + ) = .