Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции (стр. 19 )

sin  = ( + 2n, n Z),

cos  = ( + 2n, n Z). (1)

Заметим, что каждая из этих выше формул справедлива не для всех значений и , а лишь для тех, которые записаны в скобках после каждой формулы.

Здесь же приведены примеры применения этих формул.

В примере 6 с помощью формул (1) получены формулы для выражения сторон пифагоровых треугольников через любые натуральные числа m, n, k такие, что m > n:

x = k(m2 – n2), y = 2mnk, z = k(m2 + n2)

Решения и комментарии

9.78. Докажите справедливость равенства:

а) tg  + tg  + tg  tg  = 1.

Доказательство. Пользуясь формулой

tg  + tg  = tg ( + )(1 – tg  tg ), (2)

которая следует из формулы для tg ( + ), преобразуем левую часть доказываемого равенства

tg  + tg  + tg  tg  = tg ( + )(1 – tg  tg ) + tg  tg  =
= tg (1 – tg  tg ) + tg  tg  = 1×(1 – tg  tg ) + tg  tg  = 1, что и требовалось доказать.

Докажите, что если , , — углы треугольника, то выполняется равенство (9.84–9.85):

9.84. а) tg  + tg  + tg  = tg  tg  tg .

Доказательство. Преобразуем левую часть равенства, используя формулу (2) и учитывая, что = 1800 – ( + ):

tg  + tg  + tg  = tg  + tg  + tg (1800 – ( + )) = tg  + tg  –
– tg ( + ) = tg ( + )(1 – tg  tg ) – tg ( + ) = tg ( + )(1 – tg  tg  – 1) =
= tg (1800 – )(–tg  tg ) = –tg (–tg  tg ) = tg  tg  tg , что и требовалось доказать.

Здесь , и — углы треугольника и подразумевается, что имеют смысл tg , tg  и tg . Следовательно, рассматриваются лишь треугольники, в которых нет прямых углов, и для углов таких треугольников проведенные выкладки справедливы.