Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции (стр. 5 )

з) k = – + 2k, k Z; n = – + 2n, n Z (рис. 29);

л) k = arcsin  + 2k, k Z; n = – arcsin  + 2n, n Z (рис. 30).

Рис. 28 Рис. 29 Рис. 30

Дополнительное задание. 1. Сравните arcsin  c числом .

Так как arcsin  и углы из промежутка и так как sin (arcsin  ) =
= < = sin , то arcsin  < .

2. Существует ли число x такое, что: а) arcsin x = ; б) arcsin x = .

Если существует, то найдите его.

Решение. а) x = ;

б) так как – arcsin x , а > , то такого числа x не существует.

7.6. Арккосинус

Введение понятия арккосинуса можно мотивировать так же, как и введение понятия арксинуса. Для этого можно использовать задание 7.84. Только надо подчеркнуть принципиальное отличие: arccos a — это угол из промежутка . Из определения арккосинуса получается формула cos (arccos a = a, справедливая для каждого a, такого, что –1 a 1.

Далее рассмотрена задача 1: для данного числа a, такого, что |a| < 1, найти все углы, для каждого из которых cos  = a. Здесь впервые получены формулы

= arccos a + 2n, n Z и = –arccos a + 2k, k Z.

Эти формулы в дальнейшем будут использованы для решения простейших тригоно­метрических уравнений. И здесь не стоит форсировать объединение получаемых формул в одну.

Затем рассмотрены задачи, аналогичные задаче 1, но для |a| = 1 и |a| > 1.

Решения и комментарии

7.89. Сравните с числом 0,5: а) arсcos  ; б) arcсos (– ).

Так как для любых углов и , таких, что 0 < , справедливо неравенство cos  > cos  (п. 7.3 учебника). Для сравнения углов методом от противного можно доказать обратное утверждение:

Для любых углов и из промежутка [0; ] таких, что cos  > cos  справедливо неравенство < .

Решение. а) Обозначим = arсcos . Так как углы 0,5 и принадлежат промежутку [0; ] и так как
cos  = > 0 = cos 0,5, то arсcos  < 0,5 (рис. 31). Рис. 31

б) Так как углы 0,5 и принадлежат промежутку
[0; ] и так как cos  = – < 0 = cos 0,5, то arсcos (– ) >
> 0,5 (рис. 31).

7.90. а) С помощью арккосинуса выразите все углы промежутка [–; ], соответствующие отмеченным точкам единичной окружности (рис. 32). Рис. 32

Ответ. а) 1 = arccos , 2 = – arccos .

7.93. Задайте формулами все углы , для каждого из которых:

е) cos  = ; з) cos  = –; м) cos  = .