Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции (стр. 6 )

Ответ. е) = + 2k, k Z; = – + 2n, n Z;

з) = + 2k, k Z; = – + 2n, n Z;

м) = arccos  + 2k, k Z; = –arccos  + 2n, n Z.

Дополнительные задания. 1. Сравните с нулем arccos  .

Так как 0 arccos a для любого a [–1; 1] и arccos  0, то arccos  > 0.

2. Существует ли число x такое, что:

а) arccos x = ; б) arccos x = – .

Если существует, то найдите его.

Решение. а) x = ;

б) так как 0 arccos x , а – < 0, то такого числа x не существует.

Промежуточный контроль. С–28.

7.7. Примеры использования арксинуса и арккосинуса

В данном пункте рассмотрено применение арксинуса и арккосинуса для нахождения всех углов, для каждого из которых справедливо неравенство
sin  > a (sin  < a); cos  > a (cos  < a). Тем самым подготовлена база для изучения решения простейших тригонометрических неравенств для синусов и косинусов. Ясно, что это другая формулировка задачи: для данного числа a решите неравенство sin  > a (sin  < a); cos  > a (cos  < a), где неизвестное — угол . Отметим, что углы здесь обычно измеряют в радианах, хотя их можно измерять и в градусах.

Главная трудность в решении рассматриваемых задач заключается в правильном изображении соответствующих точек единичной окружности — границ промежутков и в правильном чтении получаемых промежутков.

Решения и комментарии

В заданиях 7.94 – 7.96 по сути требуется решить простейшие тригонометрические неравенства, но задача формулируется в других терминах. Здесь использованы все «табличные» значения sin  и cos , а в задании 7.97 надо использовать арксинус или арккосинус числа.

7.97. а) Найдите все такие углы , для каждого из которых sin  > .

Сначала найдем углы из промежутка [0; ], для каждого из которых sin  = : это углы 1 =
= arcsin  и 2 = – arcsin  (рис. 33). Рис. 33

Теперь найдем все искомые углы , для каждого из которых sin  > (им соответствуют точки дуги единичной окружности, выделенные жирной линией):

arcsin  + 2k < < – arcsin  + 2k, k Z.

7.98. а) Найдите все такие углы , для каждого из которых sin  < 1.

Очевидно, что условию sin  < 1 удовлетворяют все углы , кроме таких = , для которых sin  = 1, т. е. кроме
n = + + 2n, n Z (на рисунке 34 точки единичной окружности, соответствующие таким углам, выделены жирной линией). Итак, — любой угол, отличный от углов , или коротко: + 2n, n Z.

Ответ можно записать иначе, как в учебнике: