Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции (стр. 11 )

Так как – < < , то cos  > 0, поэтому cos  = .

Теперь вычислим tg  = = .

Итак, tg (arcsin a) = , a (–1; 1).

Контрольная работа № 5.

§ 9. Формулы сложения

9.1. Косинус разности и косинус суммы двух углов

Отметим, что основной формулой, из которой получаются остальные, является формула cos ( – ) = cos  cos  + sin  sin . Она доказывается с помощью скалярного произведения векторов. Следует отметить, что в других учебниках эта формула доказывается другими способами. Для доказательства формулы cos ( + ) достаточно выполнить преобразование cos ( + ) =
= cos ( – (–)) и применить формулу косинуса разности двух углов и свойства синуса и косинуса.

Остановимся на способе запоминания этих двух формул:

cos ( – ) = cos  cos  + sin  sin , (1)

cos ( + ) = cos  cos  – sin  sin , (2)

Надо обратить внимание учащихся на чередование функций в правых частях формул: «косинус-косинус, синус-синус» для формул (1) и (2), и на то, что знаки в левых и правых частях в формулах (1) и (2) различны.

Забегая вперед отметим, что на чередование функций можно будет опираться при запоминании формулы cos 2 = cos2 – sin2, которая получится из формулы (2) заменой на .

Решения и комментарии

9.7. Докажите справедливость равенства:

а) cos ( – ) = sin ; г) cos ( + ) = sin .

Здесь надо доказать формулы, аналогичные формулам для дополнительных углов из п. 9.2, поэтому способ доказательства, основанный на применении формул (1) – (2), должен быть усвоен учащимися.

Решение.

а) cos ( – ) = cos ×cos  + sin ×sin  = cos ×0 + sin ×1 = sin ;

г) cos ( + ) = cos ×cos  – sin ×sin  = 0×cos  – (–1)×sin  = sin .

9.12. Вычислите: а) cos 1350; б) cos 150.

Решение. а) cos 1350 = cos (900 + 450) = cos 900×cos 450 – sin 900×sin 450 =
= 0× – 1× = – .

б) cos 150 = cos (450 – 300) = cos 450×cos 300 + sin 450×sin 300 = ×+× =
= .

9.13. Вычислите: а) cos 750 + cos 150.

Решение. cos 750 + cos 150 = cos (450 + 300) + cos (450 – 300) = cos 450×cos 300 –
– sin 450×sin 300 + cos 450×cos 300 + sin 450×sin 300 = 2cos 450×cos 300 = 2×× =
= .

9.14. Упростите выражение:

а) cos (450 + )×cos (450 – ) – sin (450 – )×sin (450 + );

б) cos  + cos  + cos ;