Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции (стр. 12 )

в) cos2 (600 + ) + cos2 (600 + ) + cos2 ;

Решение. а) cos (450 + )×cos (450 – ) – sin (450 – )×sin (450 + ) =
= cos (450 + + 450 – ) = cos 900 = 0;

б) cos  + cos  + cos  = cos ×cos  – sin ×sin  +
+ cos ×cos  + sin ×sin  + cos  = 2 cos ×cos  + cos  = 2××cos  +
+ cos  = 0;

в) cos2 (600 + ) + cos2 (600 + ) + cos2  = (cos 600×cos  – sin 600×sin )2 +
+ (cos 600×cos  + sin 600× sin )2 + cos2  = 2 cos2 600 cos2  + 2 sin 2 600 sin 2  +
+ cos2  = cos2  + sin 2  + cos2  = (sin 2  + cos2 ) = .

9.18. Найдите наибольшее и наименьшее значение выражения:

а) cos  – sin .

Сначала преобразуем данное выражение:

cos  – sin  = 2×(cos  – sin ) = 2×(cos ×cos  – sin ×sin ) =
= 2×cos ( + ).

Так как наибольшим и наименьшим значением выражения cos ( + ) являются числа 1 и –1 соответственно, то наибольшим и наименьшим значением выражения cos  – sin  являются числа 2 и –2 соответственно.

9.2. Формулы для дополнительных углов

В этом пункте доказаны две формулы

cos  = sin  (1)

и

sin  = cos , (2)

которые очень часто используются в дальнейшем.

Решения и комментарии

9.22. Упростите выражение: а) sin (900 – 130); б) sin (–900 + 240).

Решение. а) sin (900 – 130) = cos 130;

б) sin (–900 + 240) = –sin (900 – 240) = –cos 240.

9.23. Выразите число через синус или косинус положительного угла, не превышающего 450: е) sin 18590; ж) cos 4440.

Решение. е) sin 18590 = sin (5×3600 + 590) = sin 590 = sin (900 – 310) = cos 310;

ж) cos 4440 = cos (3600 + 840) = cos 840 = cos (900 – 60) = sin 60.

9.24. Выразите число через синус или косинус положительного угла, не превышающего :

е) cos ; ж) sin .

Решение.

е) cos  = cos  = cos  = sin  = sin  = –sin ;

ж) sin  = sin  = sin  = –sin  = –cos  =
= –cos  = –cos .