Эклектические экскурсы (стр. 10 )

Традиционная запись обобщенной континуум-гипотезы:

= (1).

В случае обобщения на ординалы, (1) приобретает вид

(1а).

В дальнейшем мы будем, в соответствии с «наивной» концепцией Кантора, рассматривать это обобщение как очевидное и пользоваться символами (1).

Собственно, число 2 здесь взято всего лишь как минимальное натуральное число, превосходящее 1. Исходя из доказанного в статье [1] правила округления, в действительном анализе можно записать также

= ; ε ≠ 0; (2).

Замечание. Каков онтологический статус результата округления в формуле (2)? Каков вообще онтологический статус системы {Ob, Op, Res} (объект, операция, результат) и ее отдельных элементов? Вообще говоря, мы предполагаем, что и система как целое, и ее элементы существуют актуально в некотором архетипе. В частности, формула (2) предполагает, что результат округления является актуальным, т. е. что можно записать и далее строить выкладки с использованием этого соотнощения.

Действительный анализ (анализ над R) переходит в гипердействительный (анализ над R*), когда ε* настолько мало, что

= ; ε* ≠ 0; (3).

Замечание. В обозначениях гипердействительного анализа, очевидно, .

При этом, однако, если принимается континуум гипотеза, то

P(R(n+1)(*)) = = ; εn(*)≠ 0; (4),

где P – мощность множества.

Уравнения (3) и (4), на первый взгляд противоречащие друг другу, составляют систему, решением которой является инвариант (нормировка) вида

= Const (5),

который представляет собой аналог соотношения неопределенностей Гейзенберга. Нормировку 5 будем в дальнейшем именовать «континуум-инвариантом» (КИ).

Однако очевидно, что формула (5) в традиционной интерпретации абсурдна. В самом деле, если - число (или множество {}, состоящее из единственного элемента – числа ), то первый множитель бесследно «поглощается» вторым. Поэтому приходится предположить, что есть не единственный числовой элемент и не одноэлементное числовое множество, но некий центр конденсации всех элементов числового множества {}, внутри которого все элементы между собой неразличимы и, следовательно, не подчиняются аксиоме выбора. Это, в свою очередь, означает, что само число и, возможно, является несобственным элементом . Далее, Const, очевидно, также означает не число, но множество.

2. Числовая ось как отображение шкал ординалов и кардиналов

Интересно, что сходным образом, как известно, происходит конденсация ординалов на порядковых (ординальных) классах. Настоящее замечание находится в хорошем соответствии с тем очевидным фактом, что шкала подобна шкале порядковых классов и, соответственно, шкале кардиналов. Отметим далее, что, согласно Кантору, множество ординалов, сходящихся к данному порядковому классу, есть множество всех способов упорядочения множества соответствующей мощности. Отсюда ясно, что, в рамках данной теории, каждое число можно рассматривать как символ некоторого способа упорядочения континуума.

В этой интерпретации, очевидно, простые числа символизируют упорядочение введением того или иного, но единственного отношения порядка (одномерное упорядочение); составные – упорядочение введением композиции отношений порядка (d-мерное упорядочение, где d – число делителей составного числа, т. е. снова натуральное число). Далее, составные числа сами по себе делятся естественным образом на два класса: 1) составные числа, число делителей которых есть простое число (например, число 4, имеющее делители 1, 2 и 4, всего 3 делителя); 2) составные числа, число делителей которых есть составное число (например, четное число 12 с делителями 1, 2, 3, 4, 6, 12, всего 6 делителей; нечетное число 621 с делителями 1, 3, 9, 23, 27, 69, 207, 621, всего 8 делителей). Первый класс, по-видимому, состоит из единственного составного числа 4(Примечание 1) и всех простых чисел. Второй класс разделяется на многочисленные подклассы по различным критериям – например, по тому, представляет ли число делителей числа целую степень или нет (число 6 делителей числа 12 не является целой степенью какого-либо натурального числа; напротив, число 8 делителей числа 621 равно 23). Анализ этих подклассов в высшей степени интересен, однако выходит за рамки данного исследования. Важно, что второй класс чисел, очевидно, символизирует многоступенчатые, иерархические упорядочения континуума (например, каждое из вышеприведенных чисел 12 и 621 символизирует 2-ступенчатое упорядочение). Это означает существование для (не «на», а именно «для»!) действительной числовой оси (а также для каждой из гипердействительных осей) иерархии отношений порядка {}={}, такой, что лишь определено на «исходной», «первообразной», «наивной» числовой оси, тогда как каждое ; (k = 1, 2, 3, …, n) – на её (k − 1)-м автоморфном образе. В этой системе каждое отношение порядка существует как бы «до осуществления» (k + 1)-го автоморфизма (что означает введение понятия времени, в соответствии с принятым в статье [1]), поэтому с k-й ступени иерархии (k + 1)-я «не видна». Во вневременном же аспекте имеет место конденсация {} → .

Дробные числа (рациональные, иррациональные, трансцендентные) символизируют фрактально-мерные упорядочения. При этом характер дроби (конечная, бесконечная, цепная, периодическая, непериодическая) символизирует уровень инциденции фрактальности: самоподобие структуры как таковой, или алгоритма формирования структуры, или закона статистического распределения структурных элементов и т. д.

3. Пинцип Рейхенбаха и константа Планка

Отождествляя инвариант (5) с принципом Рейхенбаха [2] и, соответственно, величину с мерой причинности, а величину - с мерой топологии; памятуя также, что при уменьшении пространственно-временного масштаба области причинная детерминация внутри её, с точки зрения внешнего наблюдателя, становится всё менее строгой, достигая полного индетерминизма в масштабе Планковского радиуса RP и характерного времени c/RP – приходим к выводу, что топология физических систем, с ростом их масштаба, становится все более жесткой с точки зрения того же внешнего наблюдателя. Для внутреннего же наблюдателя имеет место обратное соотношение. Поэтому, с точки зрения принципа Рейхенбаха, вопрос о замкнутости или открытости Вселенной неразрешим средствами внутреннего наблюдения. Единственным же реальным решить этот вопрос средствами внешнего наблюдения представляется изучение элементарных частиц как планкеонов .